1. 유리수는 조밀하대
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이게 뭘 의미하는걸까요? 단순히 말을 들어보면 실수 체계에서 유리수는 조밀조밀하게 있다는 거겟지요. 그게 정확히 뭘 의미하는지 오늘 한 번 파헤쳐 보고자 합니다
실수는 굉장히 특별한 성질을 지니고 있어요 least upper bound property라고 신기한 성질을 가지고 있는데, 이게 뭐냐면 실수에서 아무 집합이 위로 유계 다시 말하자면
가 실수체계의 어떤 부분집합이라 합시다. 그럼 모든
에 대해
인 실수 M이 존재한다면 이제
가 존재한다는 것이지요. 얘가 least upper bound이고 다시 말해 U의 모든 원소보다 같거나 큰 놈중 가장 작은 놈이라고 생각하시면 됩니다.
Claim 1. x<y 인 실수 x,y에 대해 x<r<y인 유리수 r이 존재한다
자 생각해보죠. x<y라 했죠. 그럼 우리는 대강의 자연수를 하나 잡아봅시다.
인 자연수 n을 잡아보죠. 그럼 ny-nx>1임을 알 수 있습니다.
그럼 자연스럽게 우리는 어떤 정수가 m이 존재해서
을 만족함을 알 수 있습니다. 그럼 n은 자연수니깐 양변응 n으로 나누면
네요. 따라서 모든 실수 사이에는 유리수가 있다는 거를 알 수 있습니다.
claim 2. Density라는 거를 생각해봐야돼요. 조밀하다는건데. 즉 실수 체계에서 유리수체는 조밀하대요. 조밀하다는게 뭐죠? 사이사이에 박혀있다는거죠.
수학에서 density는 이렇게 정의합니다.
어떠한 공간 X의 부분집합 A에 대해 A의 closure랑 X가 같을때 A는 X에 대해 dense라고 하죠. 반대로 int(A)^c의 closure가 공집합이면 nowhere dense라 합니다.
그럼 대강 closure가 A를 포함하는 가장 작은 닫힌 집합이라는 것을 알고 시작해보죠.
이라는 집합에 대해 한번 생각을 해봅시다. 실수체라면 당연히 존재할거고 얘는 당연하게도
라는걸 알수있네용 그럼 얘는 유리수일까요? 아니죠?고1 때 배운 귀류법 써보면 아니란걸 알 수 있죠.
Claim 3. 루트 2를 유리수로 구성된 수열의 수렴값으로 표현할 수 있을까요?
정답은 yes 입니다. 왜그럴까요?
쉽게 생각해볼까요? 루트 2는 닫힌 구간 [0,2] 안에 있습니다.
우리는 어캐 나타내 볼꺼냐면 저 닫힌 구간을 계속 반띵 해볼거에요.
우선 루트 2는 [0,2]에서 [1,2] 이 부분에 있으니깐 첫번째 과정에서는
로 생각하고 여기서도 또 보면 [1,2] 중 [1,1.5] 사이에 존재하므로 두번째 과정에서는
를 얻을 수 있겟죠? 이렇게 계속 반띵해나가는 과정을 거치면 이제 어떤 것을 얻을 수 있을까요? 우리는 [1,2]=1+[0,1]
로 생각해볼 수 있을거에요. 그럼 계속 반띵 해나갔으므로 우리는 쟤를 2진법으로 생각할 수 있죠. 한마디로
꼴로 표현가능하다는거죠. 이때 N이 겁내게 크면 거의 루트2랑 비슷하겟지요? 그럼 수렴값으로 가지겟네요. (원래라면 뭐 dedekind cut 이런거 가져와서 해야겟지만 충분히 과한거같아요)
그래서 모든 실수는 유리수 수열의 수렴값으로 표현가능하다~~ 이렇게 생각하시면 될거같아요.
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근데 사실 Real field나 그렇지 Q is dense in R은 굳이 안 써도 뭐
Archimedean만 나오지 않나 원래
애초에 수의 체계의 확장에 대해서 cut을 다루지 density야 머..
ㅈㅅㅎㄴㄷ
불리수는 없나요?
새로운 수의 체계를 만들면 되죠 ㅎㅎ
무리수는 다르지
오
3줄요약좀
What?
중간에 int(A)^c가 아니라 int(A^c) 아닌가요?
뭔가 잘못썼네요 int(clA) 입니다