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키랄 [488086] · 쪽지

2015-09-30 21:15:11
조회수 707

박신혜넌나의님 질문하신 해모0회 30번 풀이에요

게시글 주소: https://orbi.kr/0006587922

설명해드리겠지만 풀이가 깁니다.
자 일단 다조건은 파악해봅시다 모든정수에 대해서 주어진 함수가 미분가능입니다.
절댓값그래프의 미분가능성은 이렇게 따지시면 됩니다.

일단 f(x)하고 g(x)자체는 둘다 미분가능입니다. 일단 이 이유는 f(x)가 역함수가 존재하고 그것이 g(x)이고 역함수 미분에 의하여 역함수의 미분계수는 원함수로서 표현이 가능하기때문에 둘다 미분가능이라고 할 수 있습니다. 만약에 각각의 정적분값을 하나의 함수로 인정을 하면 두 함수가 만나지 않는 부분에서는 둘다 각각 미분하기때문에 항상 미분이 가능합니다.
즉 고려해주어야할 지점은 만나는 지점입니다.즉 두 함수가 교차하는 지점에서 미분불가능의 가능성이 있고 미분불가능을 해소해 주어야지만 이 조건을 만족하게 되는것입니다.
이부분이 이해가 가시지 않는다면 2011학년도와 2010학년도 절댓값그래프에 관련된 기출문항이 있으므로 참고하시기를 추천드립니다.

각설하고 중요한것은 위에도 언급하였듯이 두 함수가 만나는 지점입니다.
만약에 만난다고 하더라고 어떤함수가 계속위에있게 되면 절댓값의 부호는 동일하겠죠.
즉 교차하는 지점을 찾아야만 합니다.
교차하게 되면 한쪽은 그냥 절댓값을 풀은것 반대쪽은 음수를하고 절댓값을 푸른것이 나옵니다.
미분가능하려면 어쩃든 두 함수는 각각은 미분가능하므로 두함수의 미분계수의 정의에서의 좌극한과 우극한이 미분한것과 같게되므로 그냥 미분해서 살펴도 무방합니다.

그렇게 되면 f(x)-xf'(x)=0이라는 식이 나옵니다.즉 교차하는 지점의 x값을 k라고 하면
f(k)=kf'(k)임을 알 수 있습니다.

일단 이로서 다조건식을 분석했습니다.

나식을 분석해봅시다.일단 정수라는것에 주목할 필요가 있습니다.
구하는 범위는 f(x)를 0부터 3까지 적분한것의 최솟값입니다.
그러면 일단은 (1,1)과 (2,2),(0,0),(3,3)을 지난다는것을 알 수 있습니다.
뭐.. 그 뒤로고 계속 나올것입니다만요

그리고 가 조건을 활용합니다.
0~1까지는 3차함수의 개형입니다.

일단 역함수가 존재해야하고 f(x)는 반드시 증가해야하므로
f(x)는 증가함수임을 알 수 있습니다.

증가함수인꼴로 (0,1)의 그래프를 그리고 (1,1)에 대해서 대칭을 해보면
정확히 (2,2)에서 원함수의 k까지의 넓이와 역함수의 f(k)까지의 넓이가 같아짐을 알 수 있습니다.
(기하적으로 확인해보세요)

일단 중요한것이 대칭정으로 쭉 점대칭도형마냥 갈텐데
0~3까지의 적분값이 작을려면 0~1까지의 적분값이 최소이어야하고 즉 아래로볼록상태가 제일 작음을 알 수 있습니다. 이 경우에는 평소에는 역함수 적분값이 더 컷다가 (2,2)에서 같아지므로 절댓값이 그때에만 양수가 되므로 즉 f(2)=2f"(2)가 성립합니다.

일단 여기까지하고
(0,0)과 (1,1)을 지나는 삼차함수를 잡습니다.그리고 f(2)=2f'(2)이므로 f'(2)=1임을 알 수있고
f(x)는 (1,1)대칭함수이므로
f(x)+f(2-x)=2이므로 양변미분하면 f'(0)=f(2)임을 알 수 있고 삼차함수의 0에서의 미분계수가 1임을 알 수 있습니다.
이 세 조건을 이용하여 삼차항을 일반화하면 ax^3-ax^2+x를 구할 수 있고 일단 (0,1)을 미분해서 값을 구해보면 -1/12a+1/2이므로 a가 클수록 작아짐을 알 수 있습니다.

즉 문제가 a의 최댓값을 구하라는 문제로 바뀌게 되는데
그러면 a값의 범위를 제한시켜주는 문제의 단서가 어딘가에 숨겨져 있을것입니다.

비록 잘 안보이겠지만 활용하지 않는 조건이 역삼수의 존재함을 증명해야합니다.
일단 f(x)가 증가하는 형태이므로 최고차항의 계수는 무조건 양수이고
미분계수의 값이 항상 양수이어야합니다.
즉 미분하면 3ax^2-2ax+1=0인데 이것이 0보다 항상 같거나 커야되므로
D의 값을 찾아보면 a^2-3a가 0보다 작거나 같으면 되므로
a의 값은 0과 3사이의 값으로 결정됩니다.

즉 a가 3일때 조건에 만족하는 값이 됩니다.
그래서 답을 구해보면 정적분의 값은 대칭성을 이용해서 빠르게 구해보면
17/4가 나오고 8을 곱하며주면 34가 나오게됩니다.

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키랄 [488086]

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