열렸다 라는 것에 대해
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열린 구간에서 열렸다는 무엇을 의미할까요?
저번에 말했듯 열렸다라는 것은 말 그대로 open이라는 뜻입니다. 그럼 open이 뭘까요? 현실세계에서의 open 처럼 open이 아니면 무조건 closed 일까요?
우선 열렸다는 것은 굉장히 정의에 가깝습니다. 어떠한 공간
에서 위상(쉽게 말하면 수학적인 구조에요)이 주어져있다고 생각해봅시다. 즉 어떠한 topology
가 주어져 있을 때 얘의 원소는 모두 open set이라는 거죠. 즉 열린 집합이라는 거에요.
그럼 생각해보죠. (0,1)은 일반적인 실수체계에서의 열린 구간입니다. 의심할 여지가 없죠? 당연히 [0,1]은 닫힌 구간일거고요. 그럼 [0,1)은 뭘까요? 얘는 열리지도 닫히지도 않았죠. 반열림 또는 반 닫힘이라 하고 영어로는 h-interval이라 합니다. 그럼 얘는 열린구간이 안될까요?
우리가 (0,1)을 열린구간으로 인식하고, (a,b)를 열린구간으로 인식하는거는 우리가 실수체 R에 대한 토폴로지를 모든 열린 구간에 의해 generated되었다고 생각하기 때문이죠.
따라서 위상. 이라는 것에 따라서 열린것과 닫힌것은 상대적입니다. 늘 열린것은 없어요.(공집합과 universal set 빼고) 그니깐
[0,1)도 열린 구간이 될 수 있다는 거죠. 이 토폴로지를 low limit topology라고 합니다.
토폴로지에 유명한 말이 있죠. Door must be open or closed but set can be both open and closed!
모두가 수학을 사랑하는 그날까지 허ㅏ이팅입키나
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