닫힌구간? 열린구간?

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오늘은 수2에서 나오는 내용중 하나인 닫힌구간, 열린구간에 대해서 한 번 생각해볼게요.

여러분은 닫힌 구간, 열린 구간이 어떻게 생겼는지 당연히 알고 계실 것입니다.

닫힌 구간은

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요로코롬 생겼고,

열린 구간은

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요로코롬 생긴 것을 알고 계실 겁니다.

그럼 둘의 차이점은 뭘까요? 단적으로 봐서는 닫힌 구간 는 양 끝점 를 포함하고 있는 반면에 열린 구간은 포함하지 않고 있다는 것을 알 수 있습니다. 그런데 이것만으로는 조금 부족하다는 말이죠? 왜 양 끝점을 포함하고 있다는 것은 닫혔다라고 하고, 왜 포함하지 않으면 열렸다고 하는 것일까요?

영어로 닫혔다라는 뜻을 가진 여러 단어중 가장 떠오르는 단어로는 closed가 생각날 것입니다. 또한 열렸다라는 뜻을 가진 단어중에는 open이라는 것이죠. 흔히 수학에서 사용되는 단어의 의미와 실생활에서 사용되는 영단어의 뜻은 많이 다릅니다. 얘네들도 그중하나이죠.

열린구간 에 대해서 한 번 생각해볼께요. 만약 우리가 이 열린 구간 안에서 이러한 수열을 잡을 수 있다고 생각해봅시다.

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그럼 수열 은 열린 구간 안에 존재함을 알 수 있습니다. 그럼 수열 의 수렴값은 뭔가요? 당연히 우리는 라는 것을 손쉽게 알 수 있습니다. 그러나, 는 열린 구간 안에 존재하지 않지요. 반면에 닫힌 구간에 대해서는 수렴값이 구간 내에 존재함을 알 수 있습니다.

이 point가 어떠한 구간이 닫혔다를 구분하는 잣대가 됩니다.

즉, 다시 말해서 닫힌 구간이라는 것은 구간 내에서 수렴하는 임의의 수열을 잡았을때, 그 수렴값이 구간 내에 존재해야함을 의미합니다. 반면에 열린 구간은 그럴 필요가 없지요. 열린 구간 내에서 수렴하는 수열이 존재한다고 가정 했을 때 꼭 수렴값이 구간 내에 존재할 필요성은 없지요.

이해를 조금 더 돕기 위해서 한 번 예시를 들어보겟습니다, 닫힌 구간

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이 주어졌다고 생각해보죠. 왜 닫혔나요? 이 구간 내의 임의의 수렴하는 수열을 잡아보면 결국은 수렴값이 주어진 구간 내에 존재함을 알 수 있을 것입니다.

그럼 닫혔다는 뭐 이정도면 된거 같아요. (간혹 뭐 닫힌 집합, limit point, topology꺼내 오셔서 아니 저렇게 걍 단순히 말하면 어캄? 이라고 하시는 분들이 계실거 같지만. 고닥교에서는 이정도면 충분하다고 생각합니다. 애초에 그럼 frequently , eventually converges 부터 다루고 수열이 아닌 net으로 접근을 했겟죠)

그럼 열렸다에 대해서 생각을 해봅시다. 단순히 생각해보면, 열렸다의 반대는 닫혔다이니까, 닫힌 구간의 여집합은 열린 구간 아닐까 하는 호기심이 생기실 것입니다. 예 맞습니다. 닫힌 구간의 여집합은 열린구간입니다. 다만 제가 말씀 드리고 싶은 것은 열린 구간이 어떤 성질을 가지고 있냐 라는 것에 대해서 말씀드리고 싶은 것입니다.

우리가 2차원 상에서 원이라는 것을 정의할 때 하나의 정점을 잡고 어떠한 상수 r 이 주어졌을 때 그 점과의 거리가 r이 되는 모든 점들의 집합으로 나타냅니다. 똑같이 1차원 상에서도 원. 이라는 개념을 적용시킬 수 있습니다. 똑같은 개념으로 접근 해본다면 1차원 상에서도 정점에 대해 거리가 같은 점들의 집합이라고 생각할 수 있겟지요. 대신 우리가 다룰 것은 1차원에서의 ball 쉽게 말하면 구 입니다. 즉 어떠한 상수 r이 주어졌을 때 정점과의 거리가 r보다 작은 모든 점들의 집합에 대해서 알고 싶은 것이지요.

즉, 정점 가 주어졌을 때 1차원 상에서 반지름의 길이가 인 구는 로 생각할 수 있겟지요.

다시 닫힌 집합과 열린 집합에 대해서 생각해보겟습니다.

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얘네를 봅시다. 구간 내의 임의의 점을 잡아봐요. 를 잡았다고 해보죠. 열렸다는 것은 가 구간 내에 존재하게 하는 양수 이 각각의 구간 내의 에 대해서 존재하기만 하면 됩니다. 그런데 닫힌 구간에 대해서 살펴보죠. 를 로 선택해봐요 그럼 이 존재하나요? 존재 할 수가 없죠. 구간의 양 끝점이라. 하지만 열린 구간에 대해서는 우리가 을 이렇게 선택하면 될거에요