Joshwoo · 953618 · 23/11/11 01:06 · MS 2020

f=abs(x)면 f'(0)이 존재 안해요

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TheOLYMPUS · 1212848 · 23/11/11 01:14 · MS 2023

아아 그 구간에서 정의되고 f(x)가 실수 전체에서 미분가능하다는 전제하에서요
그럼 맞는 개념인가요?

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Joshwoo · 953618 · 23/11/11 01:17 · MS 2020

네 그럼 맞는거 같긴 한데..
미분가능하다는게 바로 저 정의 아닌가요?
저를 100% 믿지는 마세요..예외가 있는지는 잘 모르겠어요 ㅠ 일단 닫힌구간이 열린구간되는건 맞아요

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TheOLYMPUS · 1212848 · 23/11/11 01:25 · MS 2023

아 사실 위 경우와 아래경우를 자주 헷갈려서 오개념노트에 옮기고 있다가 혹시나 해서 질문 드린거에요 '고교과정 내에서는' 예외는 없지 않을까요? 정확히 교과서 개념대로 표현한 것이니
정말 감사드립니다. 날 추운데 감기 조심하세요!

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rubiz · 1236133 · 23/11/11 10:00 · MS 2023

1.
실수 전체에서 미분가능한 함수 y=p(x)에 대해
f(x) = p(x) (a=<x=<b) 라고 하면
f'(x) = p'(x) (a<x<b)가 되는게 맞습니다.
고교 과정 내에서 한 방향의 미분가능성을 논하지 않기 때문에,
양쪽 방향의 극한이 존재하게 되기 위해서 개구간으로 설정을 하도록 되어 있습니다.

아래의 경우, 고교 교육과정 및 교과서에서 서술이 일반적으로
F'(x) = f(x) 일 때, int f(x) dx = F(x) + C
로 이루어져 있습니다.
즉, 미분가능한 함수 F의 도함수가 f일 때...라는 표현이 되기 때문에
엄밀하게 따지자면 구간의 끝에 해당하는
F(a), F(b)는 F'(a)와 F'(b)를 정의할 수 없기 때문에
F(x)가 a=<x=<b에서 정의된다는 표현은 잘못된 것으로 보입니다.
(다만, 관련 내용을 확인할 수 있는 문건이 없어 보장은 어렵습니다.)
대부분의 교과서에서 부정적분의 정의를
미적분학의 기본 정리를 사용하기 위한 기반 지식 정도로만 설명하고 있어
폐구간, 개구간에 대해서 명확히 밝히고 있지 않은 것으로 보입니다.

따라서 아래 부분은
int f(x) dx 가 a<x<b 에서 정의가 된다면, f(x)는 a<x<b에서 정의가 된다
로 서술해야 할 것으로 보입니다.

2.
아래에서, f(x)가 연속일 필요는 없습니다.
피적분함수가 연속이라는 조건이 들어가는 경우는 정적분을 정의할 때입니다.
(단, 고교과정 내에서만 존재하는 조건입니다.
실제로 고교과정을 벗어나면 finite하거나, countably infinite 한 점에서
불연속이어도 적분 가능합니다. 그 외에 르벡적분 이야기는 넘어갈게요.)
물론 부정적분에서도 피적분함수가 불연속인 경우가 나오진 않을 것으로 보이나,
교과서내 정의에서는 피적분함수가 연속이어야 한다는 이야기가 없습니다.
(대표적으로 F(x) = x^2 sin(1/x) , f(x) = 2x sin(1/x) - cos(1/x) 이면서 f(0)=0
인 함수는 모든 실수에서 F'(x) = f(x)를 만족하지만, f(x)는 연속이 아닙니다.)

3.
맞습니다.

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TheOLYMPUS · 1212848 · 23/11/11 14:42 · MS 2023 (수정됨)

1.
'F(x)가 [a, b]에서 정의된다고 한 것이 틀리다' 라고 말씀하셨는데 F'(x)를 잘못 적으신건지요
닫힌구간에서의 연속은 말할 수 있으나,
미분은 열린구간에서 정의하기 때문에,
그렇다면 int[a, x] f(x) dx는 닫힌구간에서 정의가능하고
f(x)는 열린구간에서 정의되는 것이 아닌가요?
그렇다면 닫힌구간에서 정의되는 함수자체가 없다는 뜻인가요?

IF)
int[a, x]g(x) dx=A를 '만족시키는' x의 범위가 [0, 2]라면,
g(x)=0을 만족시키는 구간은 어떻게 되는 것인가요?
제가 이해를 잘 하였는지는 모르겠으나, 선생님께서 말씀하신대로 이해하자면 [0, 2]가 아닌 (0, 2)에서 정의 되는 것인지요

2. 구간에서 정의된다'와 구간에서 만족된다'의 말뜻은 어떻게 다른가요?

3. 1번 위의 사진의 해설을 어떻게 이해해야 되나요?

4. 고교과정 내, '정적분'에서는 피적분함수의 범위가 폐구간으로 설정되는 것인가요?
(고교과정-연속)

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rubiz · 1236133 · 23/11/11 15:10 · MS 2023

1.
정적분은 닫힌 구간에서 정의가능합니다.
정적분의 정의는 미분가능성과 관련이 없고 구간에서의 최대, 최솟값만 존재하면 되기 때문에 구간이 닫혀있어도 좋습니다.
다만 본문에서와 같이 부정적분의 경우
정의가 F(x)의 미분가능성으로부터 나오는 것이기 때문에
F(x) 또한 열린구간에서만 정의됩니다.
(고 판단되나, 위에서도 말씀드린 것 처럼 관련된 문건이 없어 확실하지 않습니다.)

IF, 3. 따라서 정적분으로 표현된 경우, g(x)=0을 만족시키는 구간은 [0, 2]가 맞습니다.

2.
질문하신 의도가 잘 이해가 되지 않네요...
정의된다는 건 그 말대로 그런 x값을 넣었을 때의 함숫값이 존재한다는 표현...이고
만족된다는 건 어떤 조건 P가 있을 때 P가 그 구간에서 참이다는 표현인데...

4.
맞습니다...만,
현재 정적분의 정의를 상합과 하합의 극한(직사각형 넓이의 극한)으로 정의하지 않고,
수II 과정에서 부정적분의 차이로 정의하고 있어서 사실 좀 애매한 부분이 있습니다.
부정적분의 폐구간의 구간의 끝점에서 정의를 다루는 서적이 없어서...
15개정교육과정이 되기 전인 합 & 극한과 같이 표현된 경우에는
피적분함수의 범위가 폐구간으로 설정되도록 되어있습니다.

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rubiz · 1236133 · 23/11/11 15:12 · MS 2023

작성하다가 생각해보니 애매하네요.
현재 교육과정에서 정적분의 정의가 부정적분의 값의 차이로 정의되어서...

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TheOLYMPUS · 1212848 · 23/11/11 15:41 · MS 2023

....어떤 분이신지 도인 같네요 도인...정말이지 감사합니다.
사실 누가봐도 애매하게 구간 따지고 여러가지 문제제작의 교과개념 적용에 있어 이의제기 될 확률 확률이 클 수록 평가원에서는 내려고 하지 않겠죠?

부정적분에서는 피적분 함수의 연속, 미분가능성을 따지지 않고 정적분에서는 피적분 함수가 연속이기만 하면 된다라고 받아들일 때,
문제 풀이에 있어 적분했을 시의 함수를 구할 수 있으면 적분 마음대로 해도 되고,
정적분을 미분하고자 할 때에는 그 범위를 분명히 하면 된다. 라고 이해하면 되겠지요?

이름 다섯자 꼭 기억하겠습니다 rubiz 선생님!

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