24 수특 수2 comment (선별?)

오늘 오후 동안 2024학년도 수능 대비 수능특강 수학2 교재를 쭉 살펴봤습니다!

평가원 기출 분석과 적절한 학습을 통해 충분히 확인할 수 있는 부분들을 제외하고 생각해볼 거리가 있다 느낀 부분들에 몇 자 적어둔 것을 공유합니다.

슥 읽어보며 '내가 생각했던 거랑 어떤 부분이 다르지?'를 확인해보시면 학습에 도움이 될 것이라 생각합니다.

날이 더워지는데 오늘 저녁도, 내일 하루도 다들 파이팅입니다!!

1. 함수의 극한

유제4: 길이 잘 보이지 않을 때는 구해야하는 무언가를 간단하게 나타내어보자. 해보면 함수 f(x)[3g(x)-x]의 x=0에서의 극한값을 구해야함을 알 수 있고, 주어진 두 조건이 각각 f(x)와 g(x)를 담고 있다는 점에서 각각으로부터 f(x), 3g(x)-x의 극한값을 구해볼 생각을 할 수 있다. 해보면 xf(x)와 g(x)/x에 대한 극한값을 얻어 풀이를 완성할 수 있다.

level2 4: 조임 정리를 써야할 듯하지만 실제로는 부등식 2개를 얻어 'n이상 n이하'를 동시에 만족하는 값이 n임을 이용해야한다. 풀이에 선입견을 갖고 들어가는 것을 조심할 것

level2 5: 2022학년도 수능 12번이 떠올라야 정상

level2 6: 원 위의 점과 중심 연결, 점 C와 선분 PQ의 중점과 원의 중심은 한 직선 위에 존재

level3 3: 2024학년도 6월 11번 연계, 이 정도로 똑같이 내면 옛날 ebs 연계율 엄청났던 때의 수능 영어 감성이 아닌지?

2. 함수의 연속

예제3: 어떤 함수가 어떤 닫힌 구간에서 연속이면 최댓값, 최솟값이 존재하지만 어떤 닫힌 구간에서 최댓값, 최솟값이 존재한다고 연속은 아님. 항상 동치, 필요충분조건을 의식해야 수학 실력이 늚. 직관적인 상황 파악이 어려울 때는 조건에 하나씩 제약을 걸어가며 단순화된 상황을 바라봄으로써 핵심을 파악하려 노력해보기

level1 1: 2024학년도 6월 1번 연계 ㅋㅋ

level1 5, 6: 구간 별로 정의된 함수를 이용해 만든 새로운 함수도 마찬가지로 구간 별로 함수식을 작성하여 바라봐보면 좋을 때가 있음

level1 7: 직접적인 풀이는 교점의 x좌표를 직접 구해 부등식을 푸는 것, 하지만 삼차방정식의 근의 공식을 배우지 않았기에 쉽지 않음. 따라서 방정식의 실근을 함수의 그래프 간 교점의 x좌표로 해석할 수 있음을 이용해 그림 그려가며 상황 파악하면 도움이 될 수 있음

level2 2: 항등식에서 한 쪽을 0으로 만드는 값을 안다면 반대쪽에도 적용해보는 것이 좋음, 양변에 x=2를 대입해 관계식 하나 얻을 수 있음. 이후 양변을 x-1, x-2로 나누어 x->1, x->2 극한 취해 '실수 전체의 집합에서 연속임에 따라 실수 전체의 집합에서 극한값이 존재함'을 이용하면 관계식 하나 더 얻어 상황 정리 가능

level2 3: 미지수가 2개이니 서로 다른 정보 2개를 얻으면 상황 해결이 가능할 것으로 예상할 수 있음. x->1-일 때 극한이 존재함과 x=1에서 우극한과 좌극한이 일치해야함을 이용하면 해결 가능

level2 5: 곱함수의 연속성!! 이라며 좋아하는 것도 좋겠지만, 그냥 연속의 정의에 따라 확인하는 것이 확장성 있는 풀이. 마치 2024학년도 6월 미적분 28번을 설명할 때 f(x)를 직접 구하는 것보다 합성함수로 해석하는 것이 더 확장성 있는 풀이라고 설명하는 것과 비슷한 맥락

level3 1: x=1에서의 g(x)의 극한값 대소관계 조건 과조건이죠? f(x)>0 선에서 처리 가능합니다.

3. 미분계수와 도함수

유제5: 정석은 도함수의 정의에서 f(x+h)를 주어진 관계식 이용해 정리해보는 것. 하지만 내신 대비 해본 사람들이라면 편미분으로도 풀 수 있겠죠? 사고를 확장한다 생각하고 편미분과 편도함수에 대해 엄밀하게 공부해보는 것도 방학 동안 좋은 취미 생활이 될 것이라 생각해요

예제4: 계산량을 줄이는 것이 관건이고, (나) 조건에서 f'(x)=3(x-1)(x-3)+2로 식 세운 다음에 f(0)=0에서 f(x) 상수항 처리해주면 됩니다. 혹은 f(3)-f(0)이 f'(x)를 구간 [0, 3]에서 적분한 값과 같다는 미적분학의 기본 정리를 적용해도 굿! 마지막 계산하는 건 2024학년도 6월 17번과 같은 전통적인 문항들과 같습니다.

유제7: 수학(상)에서 학습했던 나머지정리, 인수정리 기억해두셔야합니다! 수학2에서 중요하게 작동해요, (나) 조건 보고 f(x)=(x-2)^2(x-k)로 식 설정할 수 있으셔야합니다.

level1 5: 도함수가 실수 전체의 집합에서 연속인 것은 원함수가 실수 전체의 집합에서 미분 가능함을 의미하지만, 반대로 원함수가 실수 전체의 집합에서 미분 가능함은 도함수가 실수 전체의 집합에서 연속임을 의미하진 않습니다.

level2 1: 곱함수의 미분가능성 이해하기 좋은 문항입니다, 직관적으로도 풀어보시고 미분계수의 정의를 이용해 극한값의 존재성으로도 풀어보시면 학습에 도움이 될 것이라 생각합니다.

level2 2: 썅@너매거 복잡하게 생겼습니다. 하지만 직접 해보시면 별 거 아닙니다. 마지막에 수학(상) 쯤에서 간간이 보이던 부정방정식 꼴 만들기가 살짝 들어옵니다.

level2 5: 직관적으로 f(x)=x(x-1)(x-2)^2임이 보이지만, 논리적으로 천천히 유도해보시기 바랍니다.

level3 2: g(x)에 관한 정보를 일반적으로 파악한 후 x=a4를 대입해도 좋지만, 그냥 g(a4)를 바로 구해버리면 g의 존재 이유가 없어지는 문제였습니다. 개인적으로 ebs연계교재에는 이렇게 별 의미없는 표현들이 섞여있어서 옛 평가원 기출 분석하는 것보다 맛이 없는 것 같다는 생각이 들어요

level3 3: 생김새만 보면 2019학년도 9월 가형 21번이 떠오르지만, 훨씬 쉽습니다. 직관적으로 상황을 몇 개 들어볼 수 있다면 그렇게 풀어보시고, 그렇지 않다면 차분히 경우를 나누어 접근하시면 됩니다. 

4. 도함수의 활용(1)

유제6: 감소하는 구간이 (-1, 1)라는 뜻이 아닙니다. 

유제8: f(x)-3=(x-p)^2(x-q)^2 꼴이 되어야 합니다. 혹은 x=0에서 극대 갖는다는 조건부터 써주면 개형이 f(x)=(x-p)^2(x-q)^2+C 꼴로 확정되므로 극솟값 3 조건 이용해 b값 결정해주셔도 좋습니다. 이 또한 '극솟값이 모두 3' 대신 '극솟값 중 3이 존재'와 같이 발문을 주었으면 조금 더 좋지 않았을까 싶습니다.

level1 5: 감소의 정의입니다.

level1 6: 연속함수가 일대일함수가 되려면 증가함수거나 감소함수여야합니다. 일대일함수, 일대일대응, 역함수의 존재성과 관련해서는 수학(하) 복습해보시면 좋습니다. 물론 내년부터 수학(상), (하)가 아닌 공통수학1, 2? 수업을 듣는 분들이 나타나니 이 표현 쓸 날도 몇 달 남지 않은 듯하네요 ㅜㅜ

level2 1: 절댓값은 절댓값 내부에 위치한 함수식이 0의 값을 지닐 때를 기준으로 정의역 나누어주는 것이 기본입니다. 

level2 2: f(x)를 ___+a(_____) 꼴로 정리해주시면 두 번째 괄호 내부가 0이 될 때의 x값을 점 P의 x값으로 해석하실 수 있습니다. 2010학년도 9월 가형 24번이 떠오르면 좋습니다.

level2 3: 점과 직선 사이의 거리 공식으로 직접 확인해보셔도 좋고, 직관적으로 평균값 정리를 만족하는 점이 R일 것이라 생각해보셔도 좋습니다.

level2 4: 접선 문제 상황 해결의 시작은 접점 설정입니다. 각 곡선과 직선이 접하는 점의 x좌표를 t, u라 두고 정리해보세요!

level2 5: f(x)의 입장에서 a는 상수이지만 g(a)의 입장에서 a는 변수입니다. 수학2, 미적분 문항 킬러에서 전형적으로 나오는 함수 설정 상황이니 눈여겨 봐두시면 굿

level2 6: f(x)의 입장에서 교환 법칙에 따라 총 6가지의 경우의 수가 존재하며 극댓값을 갖는 경우는 5개 존재합니다. 확인해보시면 됩니다, 하지만 직관적으로 x=2가 아닌 곳에서 중근을 갖고 그 근과 2의 차이가 가장 클 때가 답이 될 것임이 느껴집니다.

level2 8: 표현만 복잡하지 단순한 상황인 전형적인 ebs연계교재 문항 감성

level3 3: 삼차함수 상황을 (이차함수)x(그것의 도함수인 일차함수)꼴로 단순하게 묻고 있습니다. 이후는 전형적인 개형 추론입니다. 만약 f(x)를 이차함수가 아닌 삼차함수로 주었다면 간접적으로 5차함수를 묻고 있다는 점에서 2024학년도 6월 14번 연계로도 볼 수 있다 생각합니다. (사실 처음에 f를 삼차함수라 생각해서 5차함수 그래프 개형 추론으로 잘못 이해함)

level3 4: ㄷ에서 놀랍게도 f(3)=0이기 때문에 [f(a)-f(3)]/(a-3)과 f'(a)를 비교하셔도 좋습니다. 혹은 f(3)=0임을 계산할 엄두가 나지 않는다면 직접 수식 정리해서 부등식 해결하셔도 좋습니다.

5. 도함수의 활용(2)

level1 3: 동치, 필요충분조건을 복습하기 좋은 문항입니다. b-a의 값이 또 어떤 것들이 가능한지, 가능한 경우가 유한한지 생각해보시기 바랍니다.

level2 2: 상황은 적절하게 준 것 같은데 m이 싱겁게 결정되는 것 같네요, 계수 잘 조정해서 몇 개 더 확인하게 했으면 더 좋지 않았을지?

level2 4: 삼차함수에서는 접점이 불일치하면 접선이 불일치합니다. 따라서 접선의 개수를 접점의 개수로 해석할 수 있고, 접점의 x좌표를 t로 설정한 후 점 (t, t^3-t)에서의 접선이 점 (1, a)를 지남을 이용해 식을 세우면 t에 관한 방정식을 얻을 수 있습니다. 접점과 접점의 x좌표는 일대일대응 관계이므로 결국, t에 대한 방정식이 서로 다른 세 실근을 갖는 상황으로 해석할 수 있습니다.

level2 5: 상황을 만족하는 실수가 존재만 하면 되므로, 삼차함수 y=f(x)-g(x)가 극값을 갖는 상황을 뜻합니다. 다시 말해 도함수 dy/dx=f'(x)-g'(x)가 서로 다른 두 실근을 갖는 상황을 뜻하고, 이차방정식의 판별식이 양수임을 이용하시면 a값 범위 나옵니다.

level2 6: 복잡해보이지만 밑이 n인 로그로 통일해주면 삼차함수와 상수함수 비교하는 전형적인 상황입니다. 보자마자 각은 안 보이지만 동치, 필요충분조건과 삼차함수의 증감 조사로 깔끔하게 잘 만든 문제라고 생각합니다.

level3 1: 전형적인 문제, 구간 별로 g 식 잘 써서 상황 정리해주시면 됩니다.

level3 2: 두 가지 풀이를 생각해봤는데, 하나는 6차방정식 풀기! 근데 쉽지 않으니까 다른 하나는 a값을 적절하게 대입해보며 그래프를 관찰해보는 것입니다. 그런데 그렇게 해보면 a=48 ~ a=56 정도가 상황을 만족할 것으로 생각은 해볼 수 있을 것 같은데... 이걸 현장에서 샤프로 그림 그려가며 파악하기에는 무리가 있지 않나 싶네요. 그렇다면 정석 풀이는 무엇일지? 삼차함수가 원에 접하는 상황을 떠올려보자니 그건 또 음함수 미분법이 들어와야 엄밀하게 파악이 가능해서 수학2에 출제하기는 어렵다고 생각하고... 오랜만에 고민해볼 상황을 맞이했으니 며칠 더 갖고 놀아보겠습니다.

6. 부정적분과 정적분

예제3: 자연수 조건이 왜 이렇게 많은지, 올해 ebs가 자연수/정수 조건 활용해 맛 들린 것 같네요. 수1수2에서 크게 힘 들이지 않고 경우의 수 분류하도록 하여 변별력을 높일 수 있는 방향이라 판단했을지?

level1 5: dummy variable을 이해하기 좋은 문제입니다. f(x)dx나 f(t)dt나 f(y)dy나 f(g(x))d(g(x))나 다 같은 거 아시죠? 참고로 마지막 거는 구간을 x에 대해 바라볼 것이냐 g(x)에 대해 바라볼 것이냐에 따라 적분 과정 중 나타나는 세부 수치는 변할 수 있습니다. 미적분에서 학습하는 치환적분법이고, 구간을 바꿔주어야한다는 교과서적 개념을 복습할 수도 있겠군요!

level2 1: 부정적분의 정의에 따라 g'(x)=f(x) 관계이므로 g(x)=px^2+qx, f(x)=2px+q로 설정하고 식 정리해보시면 p, q값 결정 가능합니다. 약간의 곱셈공식 감성이 들어오는 듯하지만, 그냥 2p>0 조건으로 정리 가능합니다.

level2 3: 부담스러워 보이지만 각 정적분값을 p, q 정도로 치환하고 2번 돌리면 2개의 방정식 나와서 p, q값 결정 가능. 그에 따라 f(x) 결정 가능합니다.

level2 6: g+g'=____ 꼴이니 양변에 e^x 곱해 적분해볼 생각도 할 수 있습니다. e^x*g(x)의 도함수는 e^x*[g(x)+g'(x)]입니다.

level3 3: 2020학년도 수능 나형 28번이 떠오르는 비주얼입니다. 풀이 방향은 (가) 조건 해석은 f(x)=ax^n+... 로 설정하여 n값을 결정한다는 점에서 같고, 뒷부분은 f(x)=px^2+qx+r로 설정할 때 p, q, r, k 4가지 미지수에 대해 3가지 관계식이 주어져 모든 미지수를 한 미지수에 대해 정리할 수 있고 (다) 조건에서 한 미지수의 범위를 얻어내 답을 낼 수 있다는 점에서 살짝 다릅니다.

level3 4: ㄴ 판단에서, 충분히 큰 양수 h에 대해 f(h)>0가 된다는 논리가 들어와야 사잇값 정리로 참임을 보일 수 있지 않나 싶어 살짝 엄밀하지 못하다 느꼈습니다. ㄷ 판단은 수식으로 깔끔하게 밀어보면 재밌다고 느꼈습니다. 물론 그래프 그려서 푸는 게 맛있긴 합니다.

level3 5: (다)는 과조건입니다. (가), (나)만으로 f(x) 결정해보세요! 옛날에 오르비에 남겼던 자작 문항이 있는데 그걸 가져오자면 

이런 느낌입니다. 최고차항의 계수를 -2로 주면 일차항의 계수가 1이 나와 본 문제와 정확히 같은 상황임을 알 수 있습니다. 정리해볼 때, 삼차함수를 구간 [0, 1]와 구간 [-1, 0]에서 적분한 값이 일치하면 일차항의 계수가 삼차항의 계수의 -1/2배가 됩니다.

7. 정적분의 활용

유제2: y=x(4-x)에 ㅣxㅣ가 합성되었다 생각해도 좋고 x>0일 때와 x<0일 때로 경우를 나누어 직접 f(x)식을 작성하셔도 좋습니다. 저는 두 번째 방법이 더 편하다고 생각합니다. 이후 우함수 성질 이용해 적분 처리해주면 됩니다.

유제3: 접선의 방정식을 구해 곡선에서 빼주고 교점을 찾아 적분하는 것이 정석이지만, 넓이 공식 쓰시면 됩니다.

예제3: 국밥

유제6: f(x)의 역함수와 1/4(x-3)으로 둘러싸인 부분의 넓이는 f(x)와 4x+3으로 둘러싸인 부분의 넓이와 같을 것입니다. 왜냐하면 f(x)의 역함수와 f(x)는 y=x 대칭이고 1/4(x-3)와 4x+3은 y=x 대칭이니까 둘러싸인 부분도 y=x에 대칭으로 존재할 것이기 때문입니다.

level1 6: 2022학년도 수능 8번 연계 ㅋㅋ 원리 한 번 기억해두신 분들은 암산으로도 답 내셨을 것 같네요

level2 2: f'(x)를 줬고 부정적분으로 f(x)+C 구한 후 극값 수치 조건으로 C 결정하라는 문제입니다. 극값이 a, b, c, d가 존재하고 a=b, c=d라면 '서로 다른' 극값은 a, c가 되겠습니다.

level2 3: a의 값에 따라 2a와 2a^2, 2a^2과 a의 대소 관계가 달라지므로 구간 별로 직접 확인해볼 필요가 있겠습니다.

level2 6: 조건 겹치는 게 자주 보이네요, 정수/자연수 조건이나 이차함수의 꼭짓점 정보나

level2 7: 역함수를 이용한 치환적분법 혹은 부분적분법으로 일반화된 상황에 대한 증명 한 번 해보면 쉽게 풀 수도 있는 문제입니다. 개인적으로 역함수, 넓이 관련 상황 나왔을 때 그림 그려 상황 파악하기보다 수식으로 하는 것이 깔끔하다 생각해서 이쪽 풀이를 좋아합니다. 2022학년도 수능 미적분 30번 함께 풀어보시면 좋을 것이라 생각합니다.

level3 1: 전형적인 정적분으로 정의된 함수 개형 추론 문항입니다.

level3 3: 두 번째 관계식에서 x에 x+1 대입해보고 첫 번째 관계식 이용해 f(x-1)=-f(1-x)임을 이용하면 함수 f(x)가 점 (1, a) 대칭임을 증명하실 수 있습니다. 마지막에 적분 처리할 때는 수학2 수준에서는 직관적으로, 미적분 수준에서는 치환적분법으로 구간 [0, 1]에서의 적분값을 구간 [-1, 0]에서의 적분값으로 돌리실 수 있습니다.

level3 5: 발문을 '가깝거나 점 Q와 같은 위치에 있도록'으로 했으면 보다 깔끔한 표현이 되지 않았을까 싶습니다.

p.s. 저도 여러분처럼 수학 공부하는 학생 한 명이고 못 푸는 문제가 가득한 대학생 한 명입니다. 아는 선에서 답변도 드리고 직접 만들거나 떠올린 이런저런 것들도 공유하고 있으니 너무 맹신하진 마시고! 학습에 적절히 활용하셨으면 좋겠습니다~