미적분 움직이는 점의 속도와 미분계수 관계 질문!!
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미적분에서 평면위를 움직이는 점에 대해서 점 t의 위치를
x = f(t) , y = g(t) 이런식으로 t에 관해 표현하고 속도는 각 x 와 y 를 t에 대해 미분해서
속도=( f'(t) , g'(t) ) 로 나타내는데
이는 각 dx/dt 와 dy/dt 이기 때문에 dy/dt/dx/dt로 dy/dx로 나타낼 수 있는데 이렇게 되면
이는 결국 그 점에서의 접선의 기울기와 같은 건가요 아니면 t에대한 변수로 구해진 값이라 다른건가요?
생각하기로는 변수 t에 대한 미분계수라고 생각되는데 그럼 굳이 따로 이 내용을 학습하는 이유를 잘 모르겠네요.
문제를 푸는데는 어려움이 없는데 원리가 완전히 와닿지를 않네요,,
그냥 똑같은 미분계수라면 t에대해 표현되있는 x 와 y 를 관계지어서 y=f(x)로 만들고 t에 대응하는 x를 넣어서 미분계수를 구해도 똑같은건가요?
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그 점에서의 접선의 기울기와 같습니다
y=f(x) 꼴로 만들고 미분해도 같은 결과가 나옵니다
답변 감사합니다.
그럼 혹시 t=0 부터 t=3 까지 속력을 적분한 점의 이동거리는
y=f(x) 꼴로 나타낸 함수 식에서 t=0일때 대응하는x값에서 t=3일때 대응하는x값 까지의 미분계수의 절대값의 적분과 동일할까요?
저는 이게 동일하다고 생각하고 문제에 적용시켯는데 자꾸 값이 다르게 나와서요,,,ㅠ
다릅니다
속력을 적분하면 점의 실제 이동 거리(곡선의 길이)를 구할 수 있지만 y=f(x) 꼴에서 미분계수의 절댓값을 적분하면 y축 방향의 이동거리(표현이 살짝 어색한데)를 구할 수 있습니다
y=f(x)에서 곡선의 길이를 구하기 위해서는 루트(f'(x)^2+1)을 적분해야 돼요
뭔가 값을 구했을때 속력은 완전한 곡선의 길이고 미분계수의 적분은 y값의 이동거리라고 생각하면서 잘못했다고 느꼇는데 잘못된게 맞네용,,,
그럼 결국 t로나타낸 속력과 미분계수의 절대값이 다르다는 말인데
속력은 속도의 절대값이 아닌가요? 그럼 미분계수가 속도와 대응된다고 하셨는데 똑같이 절대값을 씌운건데 왜 곡선의 길이와 y값의 이동거리로 결과가 다르게 나오는걸까요?
제가 생각했을때는 t에대해 나타낸 dx/dt 와 dy/dt를 각각으로 나뒀을때는 서로간의 관여없이 t라는 변수에대해 x방향의 변화율 y방향의 변화율이라 피타고라스공식 이용해서 빗변의 길이를 나타내고 이는 속력이 되어서 속력을 적분하면 곡선 전체의 길이가 나오는데
각각 t로 나타난 dx/dt 와 dy/dt 를 dy/dx로 나타낼경우 이는 x라는 변수에 대한 y의 변화율로 결국 이를 적분했을때는 y의 변화값인 y값의 이동범위가 나타난다고 생각하는데 이해에 문제점이 있을까요?
x=f(t), y=g(t) 에서 "속도" 가 의미하는 바와
y=h(x)에서 "속도" 가 의미하는 바가 다릅니다
전자에서는 t를 시간으로 보고 2차원 운동에서의 속도를 다루는 반면 후자에서는 x를 시간으로 보고 y축 방향으로만 움직이는 1차원 운동의 속도를 의미합니다
dx/dt, dy/dt에서는 t라는 변수로 나타나는 변화율이지만 dy/dx로 표현된 시점에서는 x라는 변수에대한 y의 변화율이라는 생각입니다
속도의 의미가 다르다는 말씀이 제가 이해하기에는 변화율의 변수부분이 달라서 변화율이 다르다고 생각되는데 맞을까요?
네 그렇게 이해하면 될 것 같아요
dy/dx는 물체가 운동하는 궤적을 나타내는 y=f(x)라는 함수의 접선의 기울기를 의미합니다. 이때 매개변수 미분법에 의해 dy/dx는 (dy/dt)/(dx/dt)로 구할 수 있고 이는 물체의 y성분 속도와 x성분 속도의 비율을 의미합니다.
주로 x=g(t), y=h(t) 꼴로 제시되었을 때 t를 소거하여 y=f(x)꼴로 나타내기 어려운 점과 dy/dx를 구하면 dy/dt, dx/dt의 비율만 알 수 있을뿐 구체적인 값은 다시 계산을 해봐야한다는 점 때문에 미적분에서 2차원 운동을 다룰 때 dy/dx를 직접 구할 일은 적습니다. dy/dt, dx/dt를 각각 구해서 물체의 운동을 x축 방향에 대해서와 y축 방향에 대해서로 나누어 분석하시는 것이 편하실 거예요
엄밀히는 벡터 함수 미분을 어떻게 정의하는지 살펴보시면 좋을 것 같고, 고등학교 수준에서 직관적인 이해를 추구할 때는 [물체의 위치를 x축에 수선 내리고 y축에 수선 내려 2개의 수직선 위 운동으로 분석한다]라는 아이디어를 기억해두심 어떨까 싶습니다!
댓글 달아주셔서 감사합니다!!
t를 변수로 나타냈을때는 x축의 운동과 y축의 운동을 각각 나타내지만
dy/dx로 나타낼 경우 x에대한 y의 변화율(비율)만 알수 있고 각각의 운동을 알수없으니 실전에서 굳이 t로 나타난 함수를 y=f(x)로 나타낼 필요도 없구요
설명 감사합니다
그쵸! y=f(x)는 그냥 물체가 운동하는 궤적만을 뜻하기 때문에 t 모르면 어느 방향으로 어떻게 움직이는지도 알 수 없습니다. 고등학교 수학에서 다루는 물체의 운동은 모두 '시간'이라는 독립 변수에 대해 돌아간다는 점을 기억해두시면 좋을 듯