합성함수와 선대칭, 점대칭관계에 대해서
게시글 주소: https://orbi.kr/00063361856
합성함수의 대칭에 대해서 계속 고민해봤는데
f(g(x))=h(x) 이고 f,g,h 가 모두 연속함수이고 모든 x에 대해서 정의될때
h(x)가 x=c 에서 선대칭이라면 1. g(x) 가 x=c에서 선대칭인 케이스 2. f(b) =c , g(a)=b라고 했을때 f가 x=b 에 대해 선대칭이고 g가 (a.b) 에 대해 점대칭인 케이스 이렇게 두 경우밖에 안된다는 결론이 나왔는데 혹시 반례가 있을까요?
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
2월 12일부터 공부 시작해서 관리형 독서실(러셀 코어 바자관)에서 월,화,목 국어...
-
넵...
-
ㅇㅈ 4
저번에 식당에서 찍었어요
-
인증 할사람 3
-
. 0
…..
-
앞으로는 낮르비만 해야하나
-
입시 커뮤의 본질은 안벗어났으면 좋겠어요 사실 그냥 내가 못생겨서 슬픔
-
많나요? 친구 대학 입학하자마자 살찐거 현타와서 3월 한달만에 22키로 뺐다던데
-
흐흐
-
근데 가도 안 되긴함... 애초에 가는 것도 안 됨
-
https://link.yeolpumta.com/P3R5cGU9Z3JvdXBJbnZp...
-
그걸 ㅅㅂ왜커뮤에올리냐 친구들단톡방에올려라
-
꽃돼지 밥주기를 요청했어요? 지금 4,778,904명이 토스에서 봄맞이 꽃돼지를...
-
계속 새로고침 누르게되는 옯붕이들은 7ㅐ추
-
신기하네
-
더 있으면 우울증 도질듯
-
ㅇㅈㅎㅈㅅㅇ 2
친근감드는 얼굴들을 보고싶어요...
-
최상위 커뮤니티 맞네...
-
ㅈㄴ 럭키네 3
딱 들어오니까 얼굴인증 떠잇음 개이쁘다
-
ㅇㅈ 9
교양에서 교환학생으로 오해받은 사람••
-
오르비 이상해 9
잘생기고 예쁜 얘들이 많아 왜지 나 갈래.....
-
고2 9모때는 211이었는데;. 아 너무 걱정되네 많이 떨어질려나,,ㅠㅠㅠ
-
대가리박살날거갗당ㅇ
-
마이쮸?
-
맘대로 해라
-
지방 대학병원기준 인턴 레지던트는 보통 월급이 얼마나되나요??
-
언럭키 틀린그림찾기 게임
-
ㅇㅈ 16
재탕합니다
-
솜브라개싫음진짜 1
어제까지 아나하다가 솜브라땜에 홧병나서 브리로 주챔 바꿈
-
등그교환 ㅁㅌㅊ?
-
삼수 망하면 0
자살할거같음
-
흠
-
내가 이래서 오르비 못 들어오겠는거야
-
ㅈㄱㄴ
-
집행부님들.. 학회 세미나 참여는 ㄹㅇ 무리에요..
-
이제 고2 올라갑니다. 고2때는 독해력 자체를 늘리는 방향으로 글을 많이 읽으려...
-
새터안가서나술게임할줄모른다고 시발
-
개학하면 2
학교->영탐 독서실->수학 수학만 6시간 조지기
-
재밌는 정법과 미적분~~^^…
-
수학을7시간반했어요!! 5시간내내기출만풀고있었더니살아있기힘들어요
-
얼굴 인증 33
고등학교 입학 사진
-
인증 맛없네 2
눈만까서그런가 아 못생겨서
-
차이 어느정도인가요?
-
여기다가 적고 가요
-
ㅇㅈ 12
시발비갤아 빨리 해라
-
ㄹㅇ 미치겠네 질문 내가 하나 더 해봐? 아…….
-
눈 왤캐 잘그림 30
난 이렇게밖에 못그렸는데
-
캬 개학하고 학교 가서 우울하지는 않겠네
-
과탐을 선택했다 > 과탐 가산점이 있으니 국영수가 조금 프리해도 된다. 이 소리는...
-
굳이 신입생 오티 안가도 상관없겠죠? 어차피 학교는 27학번하고 같이 다닐건데..
h(x+a)=h(a-x)
->fg(x+a)=fg(a-x)이다.
1) f(x)가 선대칭 함수일 경우
선대칭 기준점을 b라고 하면
g(x+a)=g(a-x) or g(x+a)=2b-g(a-x)이므로
g(x+a)+g(a-x)=2b이므로
g(x)는 x=a선대칭 or (a,b)점대칭이다.
2) f(x)가 선대칭이 아닐경우
g(x+a)=g(a-x)이다.
이런식으로 수식적 증명 해보시면 될듯해요!
h(c-x)=h(c+x), 다시 말해
f(g(c-x))=f(g(c+x))
만약 g(c-x)=a, g(c-x)=b라고 할 때
f(a)=f(b)를 보는 상황과 같음
이때 a=b일 수도 a=/=b일 수도 있는데 a=b는 함수 g(x)도 x=c에 대해 선대칭인 상황
a=/=b면 꼭 함수 g(x)가 점 (c, g(c))에 대칭이고 함수 f(x)가 x=g(c)에 대해 대칭이 아니어도 가능한 경우가 존재할 수 있지 않나요? 구체적인 반례가 떠오르진 않는데 유일성을 증명할 방법이 생각나지 않아서 여쭤봅니다
저는 조금 다른방법으로 했는데 아마 세 함수가 모두 연속이라는 조건에 어긋날거같아요
음.. 먼저 책참님 말씀에 답변 드리자면 두 점 a,b가 선대칭점이라면 제 생각에는
g(x)는 항상 점대칭일거같고,
굳이 반례가 존재한다면 두 점 a, b가 서로
선대칭점이 아닐 경우가 존재하겠네요.
예를 들어서 f(x)=(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)일때
f(x)는 x=3에 대한 선대칭이고,
f(1)=f(4)이지만 서로 대칭점이 아니기때문에
g(x)가 점대칭이 아닐수도 있긴 하겠네요
근데 두 점 a, b가 서로 선대칭점일 경우에는 g(x)는 항상 점대칭일듯 합니다.
연속함수 f(x), g(x)에 대해 h(x)=f(g(x))를 정의할 때
1) g(x)가 x=a 대칭
h(x)는 x=a 대칭이다.
2-1) g(x)가 점 (a, g(a)) 대칭 & f(x)가 x=g(a) 대칭
h(x)는 x=a 대칭이다.
2-2) g(x)가 점 (a, g(a)) 대칭 & f(x)가 점 (g(a), f(g(a))) 대칭
h(x)는 점 (a, f(g(a))) 대칭이다.
이렇게는 결론을 낼 수 있는데 각 상황에서 주어진 두 명제들이 필요충분조건은 아니라고 알고 있어서.. (다시 말해 P일 때 Q라고 해서 Q일 때 P라고 할 수는 없으므로) 여쭤봤습니다. 답변해주셔서 감사드립니다!
오 우와 멋지네요 제가 3시간동안 양변에 구간나눈 역함수 취해서 케이스 분류하던 노력이 저렇게 표현될수있구나..
혹시 h가 점대칭인 경우라면 두 함수가 정확하게 점대칭으로 맞물리는 케이스 하나밖에 없는것도 맞을까요?
h가 점대칭이라면 마찬가지로 수식적으로는
h(x+a)=-h(a-x)
->fg(x+a)=-fg(a-x)이고
1) f가 점대칭일 경우
점대칭점을 b라고 하면
g(x+a)+g(a-x)=2b 즉 (a,b)점대칭입니다.
물론 위에 답변처럼 g(x+a)와 g(a-x)가 b에 대한 점대칭점이라는 가정하에 나타낸 풀이입니다.
2) f가 점대칭이 아닐경우
이 경우에는 만족시키는 개형이 무진장 많을것 같은데 간단하게 생각해보면
f(x)=0, g(x)가 x=a선대칭일 경우에는
g(x+a)=g(a-x)이므로 fg(x+a)=0이다. 뭐 이런 경우거 있겠네요
g(x+a)=g(a-x) or g(x+a)=2b-g(a-x)이므로 ---- 이 부분에서 궁금한게
모든 x에 대해서 g(x+a)=g(a-x) 또는 g(x+a)=2b-g(a-x) 인거라
모든 x에 대해서 g(x+a)=g(a-x) 또는 모든 x에 대해서g(x+a)=2b-g(a-x) . 즉 이 함수는 선대칭 또는 점대칭이다. 라는걸 담보하는건 아니잖아요.
그런데 g가 연속이라는 조건이 있는상황에서 g(x+a)=g(a-x) 와 g(x+a)=2b-g(a-x)를 연속성을 해치지 않으면서 갈아탈수 있나요? g가 특정 구간에서 g(x)=b 인 경우 (즉 잠시 점대칭이면서 선대칭인 상수함수 구간을 갖고 이 구간이 x=a에 대해서 대칭적으로 나오는 경우) 가 유일한 반례일거라는 생각이 들기도 하는데.. 맞을까요?
음.. 이거는 작성자분이 or의 의미를 잘못 이해하신듯 해요
or이 들어가면 이것 또는 이것이라는 의미이기때문에 ex) a가 아니면 b이다.
g(a+x)+g(a-x)=2b or g(x+a)=g(a-x)이다.
의 의미는 연속성이 보장되고, 어떠한 구간에서는 점대칭이거나 선대칭이다. 라는 의미이기때문에 작성자분 말씀대로 어떠한 구간에서는 g(x)가 점대칭이고, 어떠한 구간에서는 선대칭일수도 있어요
예를 들어서 g(x)를 (-2,2)일때는 x²-4라고 하고 (-무한대,-2)일때는 g(x)=x+2
(2,무한대)일때 g(x)=x-2라고 하면
구간 (-2,2)일때 g(x)는 선대칭이지만
나머지 구간에서는 점대칭이 되는 경우가 있어요
or은 둘중에 하나를 택한다 라고 생각하시면 될듯합니다.