책참님 그냥 책 한 번 읽고 오셔요.(선형대수학)
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단도직입적으로 말하자면, 너만킷님은 실수와 스칼라를 동치관계라고 단정지은 책참님의 말에 대해 오류를 지적한 거지, 실수는 무조건 벡터다!라고 말한게 아닙니다.
정말 쉽게 설명드리자면, 더하기와 곱하기 연산이 성립하는 집합이 field(체) 위에 있을 때 그걸 vector space(벡터 공간)이라고 합니다.
수학에서는 field(체)를 실수 전체 집합, vector space는 R^2 공간으로 둡니다.
그리고 field(체)는 그 자체로 이미 더하기와 곱하기 연산이 성립하기 때문에 field(체)는 vector space(벡터 공간)인데 over itself
즉 자기 자신 위에 있는 vector space(벡터 공간)입니다.
앞서 말씀드린 내용을 바탕으로 실수 전체 집합은 vector space(벡터공간)입니다. Vector space(벡터 공간)이 성립하기 위한 조건을 만족시키기 때문입니다.
같은 맥락에서 복소수의 전체 집합 또한 vector space(벡터 공간)입니다.
수학적으로 vector는 vector space(벡터 공간)의 원소로 정의하기 때문에 실수와 복소수는 자명히 벡터입니다.
그러나 앞서 설명했듯이 field(체)의 원소는 스칼라이기 때문에 실수는 벡터임과 동시에 스칼라입니다.
이렇게 설명하면 벡터의 방향성에 의문을 가지실 수 있으니 첨언하자면, 벡터의 방향이라는 건 R^2의 형태를 가지는 벡터를 좌표평면에 나타냈을 때 X축과의 각도를 말합니다.
2차원 공간인 좌표평면 상에 실수는 나타낼 수 없으니 방향이 없는 벡터고요. 1차원 공간에서는 내적을 만족하므로 방향이 있다고 볼 수 있는 겁니다.
1차원을 제외한 모든 공간에서는 방향을 정의할 수 없습니다. 그리고 3차원 공간에서는 좌표축이 변환되기에 X축만으로 방향을 측정하지 않습니다.
누군가를 비판하고 직접 결론 짓고 싶다면 그에 따른 철저한 학습은 필수 아닌가요? 또한 본인이 모르는 내용은 인정을 하셨으면 좋겠습니다.
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이 글을 읽을 수험생의 보다 나은 이해를 위해 첫 번째 댓글에 답글을 남깁니다.)
푸아송괄호님 안녕하세요, 잘 지내시나요? 기말시험 공부하다가 문득 벡터에 대해 생각할 일이 있어 생각을 이어가다가 이 글이 떠올라 찾아봤습니다. 혹시 2026학년도 대학수학능력시험 또는 그 이후의 수능을 준비하시는 분 중 이 글을 읽으실 분이 계실까 싶어, 지금까지 제가 공부한 것을 바탕으로 이 글이 담고 있는 맥락을 정리해보고자 댓글을 남깁니다.
이 글을 읽을 수험생의 보다 나은 이해를 위해 첫 번째 댓글에 답글을 남깁니다.)
푸아송괄호님 안녕하세요, 잘 지내시나요? 기말시험 공부하다가 문득 벡터에 대해 생각할 일이 있어 생각을 이어가다가 이 글이 떠올라 찾아봤습니다. 혹시 2026학년도 대학수학능력시험 또는 그 이후의 수능을 준비하시는 분 중 이 글을 읽으실 분이 계실까 싶어, 지금까지 제가 공부한 것을 바탕으로 이 글이 담고 있는 맥락을 정리해보고자 댓글을 남깁니다.
1. '벡터'를 포함한 용어는 우리가 살아가는 세상을 보다 잘 이해하기 위해 우리가 지은 표현이라 이해하는 것이 자연스럽다. 즉, 원래부터 주어진 것이 아니라 인간이 합의를 이룬 대상이라는 점에서 본질적이지 않다.
2. 언어는 맥락이 중요하다. 수리통계학에서는 우리가 어떤 확률변수 X의 확률분포 F를 궁금해할 때, 그리고 이 확률분포가 모수(parameters)라 불리곤 하는 몇 가지 수에 의해 결정될 때, 확률분포 F를 찾는 것을 모수를 찾는 것으로 바꾸어 생각하곤 한다. 이때 F를 확률분포로 하는 확률변수 X_1, X_2, ... , X_n가 서로 독립이면 우리는 X_1, X_2, ... , X_n가 랜덤 샘플을 이룬다고 하는데, 이러한 랜덤 샘플로부터 만든 함수 중 모수를 찾는 데 쓰는 함수를 추정량(estimators)이라 한다. 추정량 또한 확률변수이기에 우리는 모수가 정확히 얼마인지를 추정량을 이용해 이야기하기보다 확률적으로 모수가 어떨 수 있는지를 이야기하는 쪽으로 추정량을 이용하곤 한다. 이러한 맥락에서 우리가 언어로 표현하고자 하는 무언가가 어떤 확률변수 X의 확률분포 F와 같다면, 실제 언어로 표현되는 것은 F에 따라 결정된 X가 취한 어떤 값이라 이해해 볼 수 있을 것이다. 즉 언어의 맥락은 확률분포 F와 같다 볼 수 있으니 우리는 누군가의 말을 들었을 때 표현 자체보다 그 표현을 사용한 이유 또는 진심 등에 더 초점을 두는 것이 원활한 소통에 도움이 될 수 있을 것이다.
3. 벡터는 2015 개정 교육과정과 2025년의 학부 수준에서 크게 두 가지 의미로 쓰이는 듯하다. 첫 번째는 '크기와 방향을 지닌 물리량', 두 번째는 '벡터공간의 원소.' 첫 번째 뜻은 물리학I이나 물리학II을 포함한 보다 일상적인 맥락에서 쓰이고, 두 번째 뜻은 선형대수학에서 체와 벡터공간이라는 특별한 집합을 정의한 후 다루어지곤 한다. 첫 번째 뜻에서 실수는 벡터로 생각하지 않곤 한다. 왜냐하면 실수는 크기와 방향을 지닌다기보다는 크기만을 지니기 때문이다. 그러나 두 번째 뜻에서 실수는 벡터로 생각할 수 있다. 왜냐하면 벡터공간의 정의에 따를 때 실수 집합 또한 벡터공간이기 때문이다. 이때 체의 원소는 스칼라라고 하는데, 실수 집합은 체이기도 하기 때문에 실수는 스칼라이기도 하다. 즉, 첫 번째 뜻에 따르면 실수를 벡터보다 스칼라로 보는 것이 자연스럽지만 두 번째 뜻에 따르면 실수는 벡터이자 동시에 스칼라라고 말할 수 있다는 것이다.
선형대수학적 관점에서 '실수는 스칼라이다.'는 참이고 '스칼라는 실수이다.'는 거짓입니다. 스칼라는 체의 원소이고, 실수 집합뿐만 아니라 다양한 집합이 체일 수 있기 때문입니다. 또한 '실수는 벡터가 아닌 스칼라이다.'는 거짓입니다. 실수 집합은 벡터공간이기 때문에 그 원소인 실수는 벡터이기 때문입니다. 그러나 선형대수학을 제대로 다루지 않는 2015 개정 교육과정 안에서는 스칼라와 벡터를 각각 크기만을 지니는 물리량과 크기와 방향을 모두 지니는 물리량 정도로 다루고, 대표적으로 시간과 같은 물리량을 스칼라로 분류한다는 점에서 '실수는 벡터가 아닌 스칼라이다.'가 참이라는 생각이 적어도 2015 개정 교육과정 안에서 열심히 공부한 학생이라면 한 번쯤 가질 수 있는 생각이 아닐까 조심스레 생각해 봅니다.
또한 앞서 '언어는 맥락이 중요하다.'는 맥락에서, 정적분이라는 것도 어떻게 정의하느냐에 따라 이야기가 달라진다는 것을 이 글과 함께 읽어둔다면 수학 전반에 대한 이해도를 높이는 데도 도움이 되지 않을까 싶습니다. 2015 개정 교육과정 수학2에서는 연속함수 f의 구간 [a, b]에서의 정적분을 F'=f를 만족하는 어떤 함수 F에 대해 F(b)-F(a)로서 정의합니다. 그러나 실제로는 학부 1, 2학년 수준의 미적분에서 2015 개정 교육과정 미적분에서의 구분구적법이 설명하는 내용이 리만 적분으로서 정적분의 정의로 다루어지곤 합니다. 물론 적분을 정의하는 것은 그리 머지 않은 과거부터 수학자들의 논의 대상이었음이 알려져 있고, 이 논의는 지속되고 있으며 리만 적분도 적분의 정의 중 한 형태라는 점에서 결국 2015 개정 교육과정 내에서 이야기를 할 것이냐 학부 1, 2학년 수준의 선형대수학적 관점에서 이야기를 할 것이냐를 먼저 정했어야 보다 양쪽으로 유익한 대화가 이루어질 수 있을 것이라는 생각이 듭니다.
추천해주신 책은 지난 2년 동안 꾸준히 반복해서 읽으며 이제서야 체와 벡터공간을 포함한 일련의 흐름에 대한 이해도를 아주 얕게 쌓게 되었습니다. 저는 고등학교 수학에서 대학교 수학으로 공부 범위를 옮기며 여러 문제를 겪었는데, 푸아송괄호님 덕분에 그 과정에서의 어려움이 많이 줄어들었다고 느낍니다. 또한 '용어는 우리가 살아가는 세상을 보다 잘 이해하기 위해 우리가 지은 표현이라 이해하는 것이 자연스럽다. 즉, 원래부터 주어진 것이 아니라 인간이 합의를 이룬 대상이라는 점에서 본질적이지 않다.'라는 생각을 향한 그동안의 수많은 고민은 인간으로서의 제가 더 성장할 수 있도록 이끌어주기도 했다고 느낍니다. 물론 아직 갈 길이 멀지만 말입니다.
본문이 다루는 주제는 2024학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 수학 영역 14번 문항에서 '위치의 변화량'으로 표기된 변위가 스칼라가 아닌 벡터임에도 불구하고, 벡터의 크기가 아닌 벡터 그 자체로 어떻게 대소 관계를 논할 수 있느냐는 물음에서 시작된 것으로 기억합니다. 현재로서 제가 생각하는 깔끔한 설명은 다음과 같으니, 저와 비슷한 고민을 하시는 수험생께서 계신다면 참고하셔도 좋겠습니다.
"2015 개정 교육과정에서는 위치의 변화량을 구간 [a, b]에서 속도함수를 적분한 것으로 정의한다. 즉, 위치의 변화량이 스칼라냐 벡터냐가 아니라 단지 속도함수를 적분한 어떤 실수값으로 다루어진다. 실수는 대소 관계가 명확하므로 우리는 위치의 변화량의 대소 관계를 다룰 수 있다. 다만 스칼라를 크기만을 지니는 물리량, 벡터를 크기와 방향을 모두 지니는 물리량으로 바라본다면 어떻게 벡터 자체의 대소 관계를 비교할 수 있느냐는 의문이 자연스레 들 수 있다. 이는 2015 개정 교육과정 수학2 밖의 내용이므로 적어도 2015 개정 교육과정 수학2 문항을 다룰 때는 생각하지 않기로 하자."
와 글쓰는거 대학원생느낌나네
예전에 선대 공부했던 기억이 나네요. 아마 선형대수쪽에서 다루는 벡터랑 고등학교에서 다루는 벡터를 혼동해서 문제가 생긴것 같네요. 저도 처음 공부할때는 행렬이랑 다항식도 벡터인걸 알고 좀 충격먹었던…
그러게요 대부분 고교 과정 내 벡터의 정의가 머리 속에 자리잡았는지.. 벡터는 방향과 상관없다 내지는 방향이 없는 벡터는 따라서 존재할 수 있다는 존재성을 납득하지 못 하는 학생들이 생각보다 많더라고요..
선형대수학 내용을 일목요연하게 정리하셨네
최대한 쉽게 설명해보려고 노력했습니다 ㅜ
오 친절하게 설명해주셔서 감사드립니다 ㅜㅜ 덕분에 이해되었어요
그렇다면 '실수는 일반적으로 스칼라로 분류되며 선형대수학에서 벡터로 분류할 수도 있다'라는 문장도 잘못된 것이라고 말하는 게 맞나요? '실수는 스칼라로 분류될 수도 있으며 벡터로 분류될 수도 있다'라고 고치는 것이 적절한 것인가요?
아 그리고 이전 본문에 있던 구글 검색 결과에서 '실수는 크기만 존재하고 방향이 존재하지 않기 때문에 스칼라로 분류한다'라고 되어있던 부분도 선형대수학을 갖고 오면 잘못되었다고 말하는 것이 적절한가요?
수학적으로 벡터는 방향하고 관계가 없어요.
벡터의 정의는 벡터공간의 원소예요
포함관계상 크기와 방향을 갖는 물리량을 뜻하는 유클리드 벡터가 저 큰 정의 안에 포함이 되는 거죠.
1차원상에서는 실수도 방향이 있는 벡터가 될 수 있습니다.
다만 그외에 모든 공간에서는 방향이 없는 벡터입니다.
실수는 스칼라면서 벡터다. 라고 말하는게 정확한 표현입니다.
감사드립니다. 권해주신 대로 종강 하고 선대 책 한 권 읽고 오겠습니다! 수능 수학 공부하며 개념에 충실히 시간을 보냈어서 대학에 온 후로 오개념을 바로잡는 역할만 해왔는데 제가 잘못 알고 있었다니 부끄럽네요... 시간 내어 설명해주셔서 감사드립니다. 편협한 지식으로 성급하게 단정지은 점, 사과 드립니다
제가 쓴 게시물 중에 3차원 모든 벡터의 회전을 표현해봤다는 글 있는데 그게 벡터의 근간이 되는 사원수라는 친구예요 벡터라는 건 사원수를 쉽게 사용하기 위해 도입된 표기고..알아둬서 나쁠 건 없습니다 원서는 쿤제나 호프만이 좋긴 한데 이건 너무 딥해서 프리드버그로도 충분해보입니다 열공하세요
오 감사드립니다, 그 글도 확인해보겠습니다!! 혹시 시간 되시면 한 가지 더 여쭤보고 싶습니다
'위치의 변화량과 움직인 거리는 각각 벡터와 스칼라에 속하는 물리량이라는 점에서 직접적인 크기 비교는 불가한 것처럼 보인다. 하지만 1차원 벡터 공간의 경우 (1차원 운동을 다룰 때) 실수는 스칼라로도, 벡터로도 분류될 수 있다. 따라서 1차원 운동을 다룰 때는 변위와 이동 거리를 직접 비교할 수 있다.'
이 문장에는 오류가 없나요? 예를 들어 수직선 위를 움직이는 어떤 물체 A가 t=0~t=3에서 4만큼 움직였고 이때의 변위가 -3일 때 't=0~t=3에서 A의 변위보다 움직인 거리가 크다'라고 말할 수 있는지 궁금합니다. 다시 말해 -3의 -를 '왼쪽'이라는 방향을 나타내는 기호가 아닌 음의 실수임을 나타내는 기호로 생각해도 될지 괜찮을지 궁금합니다.
(이 문장에 오류가 있다면 [2022학년도 수능 예시 문항 14번]의 ㄷ 선지와 [2024학년도 6월 14번] 또한 교과서에 근거하면 문제가 없지만 실제 수학적인 지식들로 바라볼 때는 문제가 있을 것 같아 여쭤봐요)
나아가 2차원 운동에서는 변위는 벡터에 속하고 이동 거리는 스칼라에 속하기 때문에 직접적인 대소 비교가 불가하다고 설명할 수 있나요? 그렇게 설명할 수 있다면 n=/=1일 때 n차원 벡터 공간에서는 벡터와 스칼라를 대소 비교할 수 없지만 1차원 벡터 공간에서는 가능하다는 결론으로도 이어질 수 있는지 또한 궁금합니다.
똑똑하네