x(t)가 4차면
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위치도 4차처럼 움직이는 게 아니라
사차함수의 치역대로 x가 직선 위를 움직입니다.
따라서 방향이 오로지 +, -로만 구분되며 적분 값의 부호에 따라
정확히 반대 방향이 됩니다.
즉, v(t) 적분 값 = x방향 위치의 변화량 이므로
문제 없습니다
절댓값 씌워서 보고 싶다면 변위의 크기를 물어봐야 합니다.
핵심은 x방향 변위를 묻고 있으므로 명확하게 비교 가능하다는
겁니다
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이유를 알 수 있을까요?
님말대로 x(t)가 좌우로만 움직이는건 맞는데
왼쪽으로 12/5보다 오른쪽으로 4/15가 크단건 말이 안되죠 변화'량'인데..
양이 음수가 될 수 있나요? 사과 -3개??
운동량도 음수 되어요
양이라고 음수 안 되는 거 아니에요
그 음수가 진짜 -가 아니라 방향이니까 문제죠 ㅋㅋ 그럼 동쪽이 양수면 서쪽으로 시속 30키로로 달리는 철수가 동쪽으로 시속 3키로로 걷는 영희보다 느린건가요?
동쪽이 +로 설정되어 있으면 당연히 철수 속도가 영희 속도보다 느리죠. 변위도 마찬가지에요.
수학의 x(t) 자체가 x축 위를 움직이는 점의 시간상 그래프이기에 언제나 양음에 따라 우와 좌 방향이 결정 되어 있습니다. 그래서 성립 가능해요. 2차원 평면이어도 x 방향 변위를 비교하면 동일 직선에 수선의 발을 내린 cos 값으로 비교하기도 하고요 (개정 전 물리2 내용) 어색하시다고 해서 틀린 건 아니니까요
-> 수학 교과 내에서 그렇다는 것이지, 물리학적으로 옳다고 한 것은 아닙니다. 저도 물2까지만 했어서
전문성을 갖고 확언을 못하겠습니다.
실제로 직선 위를 움직일 때 원점으로부터 위치 변화량을 재면 좌우에 대해 +- 따져서 변화량 말해주어야 합니다. 위치의 변화량 = 변위여서 그래요
중학생때 직선의 기울기 : y의 증가량 / x의 증가량으로 요즘 안배우나요?
말씀하신대로면 증가(+) 량(+) 은 양수값일 수 밖에 없는데 수능문제 및 수학 교과에 여태까지 기울기 음수로 설정된 직선을 포함한 문항은 다 폐기되어야 하겠네요.
0!=1인데 0을 -1번 곱하는 건 불만이 없나요? 실체적 진실에 안어긋나요?
어제부터 쭉 읽어본 결과, 고교 수학2 교과서 위치와 속도 파트 한번을 읽어보지 않고 게으르게 공부한 학생이 본인의 얄팍한 학습 상태를 점검하고 교과서에 적힌 개념대로 학습을 해야겠다하는 기회로 여기기는 커녕
본인의 틀림, 잘못됨을 인정하지 못하고 변화량은 양수여야 한다는 근본도 없는 주장을 시작으로해서,
교과서에 있는 내용조차 잘못되었다고 주장하면서 말도 안되는 소리를 지속적으로 하고 있는 것 같아 보이네요.
당신들이 교과서를 읽지 않아 정립된 오개념을 바탕으로 문제를 헷갈렸으면 당연히
게으르게 공부한 본인들의 잘못입니다.
그렇게 설정한 수학 교과나 교과서를 바탕으로 용어 정의에 대한 물음을 하고 있는 문항이 잘못된 것이 아니라요.
좋은 의견 감사합니다. 그래도 수험생이니까 아직 배울 기회가 많으니 이번 일을 계기로 모두들 수능 때는 안 틀리시면 되니 오히려 다행이라고 생각합니다
이게맞다
제 짧은 물리 지식으로 말해보자면
현정훈 선생님 첫 수업에서 벡터와 스칼라에 대해 수업하셨는데 벡터의 대소를 비교할 때는 무조건 절댓값이 있어야한다고 하셨어요.
예를 들어 a가 -30m/s, b가 +3m/s 로 움직인다면 b의 속도가 더 크다라고 말하는 것은 말 자체가 성립하지 않는거라 하셨어요
마찬가지로 a가 -30 b가 -3으로 운동한다면 a의 속도가 더 느리다라고 하는 것도 말이 성립이 안 된다고 하셨어요.
맞아요 원래 물리에서는 벡터 개념을 배울 때 크기로 비교해야 한다고 배우는데,
수학 교과 내에서는 수직선 상 위를 움직이는 x 방향에 대해 변위를 측정하는 것을 요구하기 때문에 부호를 살려야 한다는 거에요.
변위의 정의가 속도의 정적분 값이고, 이동 거리의 정의가 속력의 정적분 값인 이유를 생각해봅시다.
핵심은 단순히 부정적분이 아니라 수학 교과 내에서는 int_0^? 즉, 0부터 적분하여 원점으로부터 비교를 하는 값이라는 겁니다. 따라서 0부터 적분을 하기 때문에 음수가 나오면 곧이곧대로 절댓값 없이 더 작다고 말할 수 있습니다.
물론 물리학적으로 두 벡터를 비교하라고 했고 문제의 답이 저렇게 나왔다면 저도 의아했을 테지만, 수학 교과 내 개념과 x 방향과 원점이라는 기준이 있는 상태에서 문항이 나온 거라 충분히 납득 가능하다고 생각했습니다...! 댓글 남겨주셔서 감사하고 말씀하신 것처럼 물리학에서의 속도 예시를 위에서 든 것은 오해의 소지가 있을 듯해 수정해 놓겠습니다
물리학적으로 바라보면 애매한 부분이 있지만 수학 교과 내이기 때문에 문제 없다, 저도 이렇게 생각합니다
수학적으로도, 물리학적으로도 전혀 문제가 없다는걸 길게 설명드린 것인데 아직도 어디가 이해가 안되셨는지 모르겠네요..
실수는 절대로 벡터가 될 수 없다는 근본없는 오개념만 버리시면 됩니다. 실수체도 벡터공간입니다.
물리학 문제에서 속도를 방향과 크기로 이루어진 유향선분으로 표현하지 않고, v=-2m/s 라고 표현하면 왜 벡터를 실수처럼 표현하냐고 따지실 분 같네요.
제가 아직 선형대수학과 해석학에 대한 깊은 이해가 없어 말씀해주신 실수체와 순서체에 대한 내용은 학습이 필요한 상태입니다. 다만 고등학교 교육과정 내 기하, 물리학1, 물리학2와 일반물리학을 바라볼 때 실수들은 스칼라로 분류됩니다. 고등학교 기하에서 벡터를 처음 공부할 때 벡터의 합, 차, 내적 등의 기초적인 연산을 배우며 벡터에 어떤 실수값을 곱하는 것은 벡터에 스칼라배를 하는 것이라 배우기도 합니다.
따라서 너만킷 님처럼 선형대수학과 해석학에 깊은 이해를 갖춘 상태에서는 '실수도 벡터다'라고 말할 수 있을지 몰라도 고등학교 교육과정과 기초적인 일반물리학까지만을 학습한 상태에서는 '실수도 벡터다'라는 말에 어색함을 느끼는 것이 저를 비롯한 학생들의 자연스러운 반응이 아닌가 하는 생각이 들어요!
물리학 문제에서 v=-2m/s라 표기하는 것은 문제가 되지 않습니다. 편의상 좌표평면에서 x축과 평행한 어떤 직선 위를 움직이는 물체를 떠올릴 때 오른쪽을 나타내는 기호를 +, 왼쪽을 나타내는 기호를 -라 한다면 이는 물체가 왼쪽으로 1초에 2m씩 움직이고 있음을 나타내는 정보이기 때문입니다.
"고등학교 과정에서 실수들은 스칼라로 분류됩니다" 라는 언급 자체가 오개념입니다.
고교 과정에서는 스칼라는 크기만을 가지며 벡터는 크기와 방향을 모두 가진다고 가르치는데,
그걸 보고 마치 스칼라는 실수이고, 벡터는 실수가 아니라는 이상한 오개념을 갖게 되신 것 같네요.
심화 학습은 하지 않으신 체로 너무 확대 해석을 하셨어요.
스칼라가 실수를 뜻하는 말도 아니거니와, 실수는 절대 벡터가 아니라는 말도 틀린 얘기입니다. 이상한 이분법을 버리시고, 궁금하신 부분은 추가 학습을 권해드립니다.
제대로 배운 것들을 갖고 고민해볼 때 드는 생각을 말하고 일정 수준까지 학습했을 때 의아해할 수 있는 부분을 말하는 것은 건강한 학습 방향에 놓인 태도 중 하나라고 생각합니다. 논쟁이 아닌 올바른 학습을 위한 대화라는 점에서 '따진다'라는 표현을 사용하신 것이 잘 이해가 되진 않습니다.
실수는 스칼라면서 벡터예요
물론 실수 전체 집합이 벡터 공간이 되지 않게끔 정의할 수도 있지만 일반적으로 실수 전체 집합 R은 벡터 공간이라 그의 원소인 실수는 자명히 벡터구요..
체의 원소 또한 실수라서
스칼라임과 동시에 벡터라고 보시면 돼요
1차원에서는 방향이 있는 벡터고요.
그외 다른 공간에서는 방향이 없습니다
이건 선형대수학의 깊은 이해를 필요로 하는 내용이 아니에요 그냥 기초입니다
Field 를 알아야 Vector Space를 알 수 있고
Vector Spae를 알면 Span을 알수있고
Span을알면 NullSpace를알수있고
NullSpace를 알면 Function을 알 수있고
Inverse를 알면 Transpose도 알수있고
Basis를 알면 VectorSpace를 Matrix Representation 할 수 있어요
그냥 이게 다 기본이에요
이런 건 보통 해밀턴이 고안한 사원수(쿼터니언)을 통해 이해시키면 편하긴 한데 기본이 없으시니 프리드버그 선형대수학 원서 같은 거 읽어보세요..
대학 과정을 모른다고 하더라도, 본인의 얕은 식견으로 오개념을 만들고
이전 글부터 본인의 오개념을 지적해도 끝까지 생각을 수정하지 않고 교과과정의 애매함이나, 문제 발문의 애매함으로 덮어씌우시는 것이 문제입니다.
문제 제기를 하시는 것 자체는 아주 좋습니다만, 질문을 하시는 것도 아니고, 잘 모르거나 잘못된 내용에 대해 너무 당당하게 단언하시는 것 자체는 좋은 태도로 보이지 않습니다.
본인의 여러 의문 자체는 선형대수학을 배우면 해결할 수 있습니다만,
대학과정 없이 고교 과정만 제대로 학습해도 이 문제를 전혀 애매하지 않고 정확하게 풀 수 있습니다.
이제 더 이상 소모적인 댓글은 달지 않겠습니다. 감사합니다.
어느 추천 글 제목과 본문을 빌려 그대로 적어두고 싶네요
"몰랐습니다, 공부가 부족했습니다, 죄송합니다
이 말 한마디를 끝까지 못하시는군요."
너만킷님, 교과서 학습도 제대로 안 한 학생들이 본인의 틀림을 인정하기 싫어
이말저말 끌어와서 본인이 무슨 말을 하고 있는 지조차 모르는 채
억지 주장을 일삼는 것에 대응하시느라 고생 많았습니다.
어차피 끝까지 인정 못할 학생들에 대해서 소중한 시간을 낭비하는 것이 아까워보이니 무시하는 것이 좋겠습니다.
오개념 아닙니다. 실수를 스칼라로 분류하지 않을 때는 선형대수학을 포함한 일부 경우뿐입니다. 일반적인 상황에서 실수는 스칼라로 분류되는 것이 맞으며 교과과정 내 물리학, 기하, 미적분학을 충실히 학습한 학생의 경우 [2024학년도 6월 14번]과 관련해 문제 제기 된 부분에 대한 고민이 한 번쯤 드는 것이 자연스럽다 생각합니다. 물론 수학2 교과서에 근거할 때 문제 오류는 아니지만 처음에 문제 제기하신 분의 생각처럼 '교과서 상 맞더라도 실제 지식과 충돌한다면 고민해볼 만하지 않은가?' 하는 고민은 적절한 학습을 진행하는 수험생 분들이 한 번쯤 해볼 만한 고민이라는 생각이 듭니다.
일반적인 상황에서 참인 명제에 대해 반례 하나 갖고 '학습이 부족하다'라고 말하는 것은 너무 시시비비 가리려는 태도가 아닌가 싶습니다. 실제로 James Stewart의 Essential Calculus 같은 교재에서는 학생이 충분히 범할 수 있는 오류를 직접 언급한 후 '이것은 사실 그렇지 않다'와 같은 식으로 설명을 보충하여 올바른 학습을 이룰 수 있도록 돕고 있습니다. 이것이 더 적절한 태도가 아닐까 생각합니다.
밑에 '푸아송 괄호'님께서 추천해주신 프리드버그 선형대수학 교재 방학 중으로 접해보겠습니다, 추천해주셔서 감사드립니다!
밑에 '10년전수험생' 님께서는 다른 분들의 주장을 가져와 그에 대한 의견을 표하시는 것 같네요. "몰랐습니다, 공부가 부족했습니다, 죄송합니다. 이 말 한마디를 끝까지 못하시는군요." 라는 말이 담겨있던 글은 저도 읽었었고 올바른 학습 태도를 담은 글이라 생각했었습니다.
감사합니다! 물리러라 수학에 나오는 운동 부분은 그냥 물리랑 똑같겠거니 하고 개념을 그냥 훑어보고 넘겼었는데 이번 기회에 확실하게 알게됐습니다
그럼 결국 실제로 물리적으로는 잘못된게 맞지만 수학 교과 내에서는 이상이 없다는게 결론인건가요??
전자는 저는 잘 모르겠습니다. 선형 대수를 하신 분들은 전자에 의해서도 맞다고 하더라고요. 다만 후자는 확실히 이상이 없습니다
입시에서 손을 떼니 메타를 못 따라가겠네요 ㅎㅎ..
올해 6월 모의고사 14번 발문중 “위치의 변화량” 이라는 단어가 있었는데 이를 두고 해석하는 방향이 서로 달라서 그런 것 같습니다. 다만, 해석은 약간 갈릴 수도 있으나, 문제를 푸는데는 큰 지장은 없었다가 중론입니다...(가끔 생2 음수 건을 말하시는 분도 있는데 그정도로 중대하지는 않았다고 저는 생각을..)