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잘 안보입니다
최고차항 계수가 1인 삼차함수 f(x)에 대해 f'(0)<=0이고 점 (-1,-1)을 지난다.
곡선 y=f(x)에 접하는 직선이 y=x, y=5x+4 뿐일 때, f(x)를 구하시오 같네염
f(x)=x^3-x^2+1 인가
문제 맞나요?
ㄷㄷ 맞나보네요
답 ! 8?
저도 이에 근거하면 8나오네요
예쁘게 나오는거 보니 맞나봐염
어 저도 그리고 있었는데 ㅋㅋㅋㅋ 답은 8 맞는 듯요
ㅋㅎㅋㅎㅋㅎㅋ 아주 예쁘게 그려지네여
저는 처음에 접점의 x좌표를 u라 잡고
y=f'(u)(x-u)+f(u)
함수 f(x)의 점 (u, f(u))에서의 접선 중 점 (-1, -1)을 지나는 직선들을 기준으로 잡아보려 했습니다. 그럼
-1=f'(u)(-1-u)+f(u)
(u+1)f'(u)=f(u)+1
위의 u에 관한 방정식은 삼차방정식이고 이를 만족하는 직선이 y=x와 y=5x+4이므로 방정식은 적어도 두 개의 실근을 가져야합니다. 왜냐하면 삼차함수는 접선과 접점이 일대일대응이기 때문에 접선이 2개려면 접점도 2개여야 하기 때문입니다. 다시 말해 주어진 방정식의 서로 다른 실근은 2개입니다.
다항방정식은 허근이 존재한다면 허근을 짝수개로 갖기 때문에 방정식은 세 실근을 지닙니다. 이때 주어진 방정식의 서로 다른 실근이 2개이므로 방정식은 세 실근을 갖고 하나가 중근일 것입니다. 먼저 주어진 방정식의 양변에 u=-1을 대입해보면 f(-1)=-1임을 알 수 있으니 함수 f(x)의 그래프는 점 (-1, -1)을 지나야 할 것입니다.
f(x)=(x+1)(x^2+ax+b)-1로 식을 작성하면 주어진 방정식은 다음과 같을 것입니다.
(u+1)[u^2+au+b+(u+1)(2u+a)]=(u+1)(u^2+au+b)
3u^3+(2a+5)u^2+(3a+b+2)u+a+b=u^3+(a+1)u^2+(a+b)u+b
2u^3+(a+4)u^2+(2a+2)u+a=0
이제 이 방정식은 (u+1)^2Q(x) 꼴이나 (u+1)(u-k)^2 (k는 -1이 아닌 상수) 꼴로 인수분해되어야 할 것입니다. 먼저 (u+1)^2Q(x) 꼴일 확률부터 고려해봅시다. 상수항이 일치함을 이용하면
i) u=-1에서 중근
2u^3+(a+4)u^2+(2a+2)u+a=(2u+a)(u+1)^2입니다.
이때 이 방정식의 u=-1이 아닌 근 u=-a/2는 y=x와의 접점일 것입니다.
따라서 f(u)=u, f'(u)=1을 풀어주면 u=1, a=-2가 되어 f(x)는 아래와 같습니다.
f(x)=(x+1)(x^2-2x+2)-1
그럼 f'(2)의 값은 8이 될 것입니다.
ii) u=-1에서 단일근
2u^3+(a+4)u^2+(2a+2)u+a=(u+1)[(u+1)(2u+a)]입니다.
u=-1에서 중근을 가지므로 모순입니다.
따라서 답은 8입니다.
혹은 그래프에서의 논리를 이용할 수도 있습니다.
어떤 점에서 삼차함수에 그을 수 있는 접선의 개수가 2개라면 그 어떤 점은 삼차함수의 그래프 위에 위치해야합니다. 따라서 f(-1)=-1입니다.
삼차함수 위의 점 P에서 접선을 그으면 점 P에서의 접선과, 점 P에서의 접선이 아닌 다른 접선이 존재합니다.
따라서 함수 f(x)는 점 (-1, -1)에서 y=x 혹은 y=5x+4에 접할 것입니다.
i) 점 (-1, -1)에서 y=x에 접할 때
그래프를 적당히 그려보다보면 도저히 y=5x+4에 접하도록 개형을 잡을 수가 없습니다. 따라서 모순입니다.
ii) 점 (-1, -1)에서 y=5x+4에 접할 때
그래프를 적당히 그려보다보면 x>-1인 어딘가에서 y=x에 접하도록 개형을 잡을 수 있습니다.
그럼 f(x)-(5x+4)=(x+1)^2(x-k)라 식을 작성해봅시다. 이제 접점의 x좌표를 u라 잡고
연립방정식 f(u)=u, f'(u)=1
의 해를 구해보면 u=1, k=3이 나옵니다.
그럼 f(x)-(5x+4)=(x+1)^2(x-1)이고 f'(2)의 값은 8이므로 답은 8입니다.
캬 따봉을 안박을수가 없습네다 wwww
감사합니다
어떤점에서 삼차함수에 그을수 있는 접선이 두개면 왜 그 점이 삼차함수 위에 있어야 하죠?
https://youtu.be/aP51gYkLGEY
엄밀하게는 곡선의 볼록성을 공부해야합니다. 볼록성은 우리가 주로 함수를 두 번 미분한 '이계도함수'를 갖고 판단합니다. 따라서 미적분 선택자시라면 후에 이계도함수 학습 후 '임의의 점에서 삼차함수에 그을 수 있는 접선의 개수'에 대해 고민해보시고 미적분 선택자가 아니시라면 남겨드린 유튜브 영상 보시고 '아 그렇구나' 하시면 되겠습니다!
이런경우는요?
그런 경우는 접선이 하나 더 존재합니다. 잡으신 점을 (a, b)라 하면 x<a에서 접점이 하나 더 생겨요
아 그렇네요
감사합니다
대충 이런..?
감사합니다
근데 f(x)가 5x+4와 x=-1에서 접한다는 어떻게 안건가요?