거듭제곱근, 유리수 지수 질문 (ft. 멱함수) (해결)

Question

수학1에서 첫 단원은 지수와 로그입니다. 지수가 자연수일 때의 지수법칙에서 나아가 지수가 실수일 때의 지수법칙을 익히고 지수로부터 로그라는 개념을 정의한 다음에 지수함수와 로그함수에 대한 특징을 학습하죠.

우리는 보통 이렇게 알고 있습니다.

지수가 자연수일 때, 밑이 실수면 지수법칙이 성립한다.

지수가 정수일 때 (0과 음의 정수로 확장했을 때), 밑이 0이 아니면 지수법칙이 성립한다.

지수가 유리수일 때 (분수꼴로 확장했을 때), 밑이 양수면 지수법칙이 성립한다.

지수가 실수일 때 (무리수까지 다룰 때), 밑이 양수면 지수법칙이 성립한다.

보통 거듭제곱근과 지수는 평가원에서 다룰 때 231101처럼 단순 계산 문제로 내거나 230911이나 231113처럼 출제하곤 합니다. 다시 말해 거듭제곱근에 관해 묻거나 지수법칙에 대해 묻는 것 말고는 잘 출제하지 않는다는 뜻이죠.

그런데 저는 이런 의문이 생겼습니다.

'지수가 유리수일 때 지수 법칙을 적용하려면 밑이 양수여야한다. 그런데 만약 지수법칙을 적용해 연산을 하고자함이 아니라 단순히 지수가 유리수일 때 그 수 자체가 정의되기 위해서는?'

즉, 우리가 이런 수식을 계산할 때는 그냥 지수 법칙을 적용하면 되는데

$M157XGZyYWMgezd9ezN9fSBcdGltZXPKFzLFFz3PKCvOHiAzXnszfT0yNw==$

이런 수 자체가 정의될 때는 언제인지 모르겠다는 것입니다.

$M157XGZyYWMgezd9ezN9fSwgXHNwYWNlICB4zxo=$

그래서 찾아보다가 멱함수(power function)에 대한 기억이 떠올랐습니다. 아마 고등학교 2학년 때 수학2를 공부하며 다항함수에 익숙해지고 수학1을 공부하며 지수함수에 익숙해지던 중 '거듭제곱꼴에서 밑이 상수이고 지수가 변수이면 지수함수인데, 밑이 변수이고 지수가 상수이면 뭐지?'라는 의문이 들어 찾아보다가 멱함수에 대해 알게 되고 이것에 사칙연산을 적용해 섞어둔 것이 다항함수라고 정리했던 기억에서 나온 것 같습니다.

우선 위키백과에 따르면 멱함수(power function)의 정의는 다음과 같습니다.

그리고 이어서 제가 궁금하던 부분에 대한 정보를 파악할 수 있었습니다. 아래와 같습니다.

예시를 기준으로 볼 때 정보를 정리해보자면 이러합니다. (물론 여기서 자연수도 정수가 아니냐.. 그럼 정수일 때도 case를 나누어야하지 않냐.. 라고 할 수 있지만 '간단한 형태로 해결 가능하면 다음 형태를 고려하지 않는다'는 암묵적 룰을 가져와보겠습니다 ㅎㅎ 다시 말해 정수일 때를 고려한다는 것은 자연수가 아닌 정수, 0이나 음의 정수를 고려할 때로 보자는 것이죠)

지수가 자연수일 때, 수(함수)가 정의되면 밑은 실수 전체의 집합이다.

지수가 정수일 때, 수(함수)가 정의되면 밑은 0을 제외한 실수 집합이다.

지수가 유리수일 때, 수(함수)가 정의되면 밑은 실수 전체의 집합이거나 음이 아닌 실수 집합이거나 0이 아닌 실수 집합이거나 양의 실수 집합이다.

지수가 무리수일 때, 수(함수)가 정의되면 밑은 양의 실수 집합이다.

지수가 실수일 때, 는 아무래도 유리수 부분과 무리수 부분으로 쪼개어 각각의 정의역의 교집합을 확인해야할테니 그때 그때 다르겠죠.. 뒤에서 정리해봅시다.

지수가 자연수, 정수, 무리수일 때는 지수법칙에서 살펴보던 조건과 같은 상황임을 확인할 수 있었습니다. 특히 지수가 자연수일 때는 우리가 수학2에서 그토록 자주보는 다항함수의 가장 단순한 형태를 보는 것과 같음은 쉽게 확인할 수 있습니다.

하지만 지수가 유리수일 때는 다음 경우에 따라 상황이 달라짐을 확인했습니다. 위의 위키백과 내용을 정리해보면

지수가 유리수일 때 이를 기약분수 형태로 나타낸 것이 m/n일 때)

i) m/n>0

m이 홀수, n이 홀수: 밑은 실수 전체의 집합

m이 짝수, n이 홀수: 밑은 실수 전체의 집합

m이 홀수, n이 짝수: 밑은 0 이상의 실수 집합

ii) m/n<0

m이 홀수, n이 홀수: 밑은 0이 아닌 실수 집합

m이 짝수, n이 홀수: 밑은 0이 아닌 실수 집합

m이 홀수, n이 짝수: 밑은 양수 집합

단순한 형태로 다시 정리해보면 다음과 같다.

i) (유리수 지수)>0

분모가 홀수: 밑은 실수 전체의 집합

분모가 짝수: 밑은 음이 아닌 실수 집합

ii) (유리수 지수)<0

분모가 홀수: 밑은 0이 아닌 실수 집합

분모가 짝수: 밑은 양수 집합

그럼 우리는 이렇게 정리할 수 있을 것입니다.

지수가 자연수일 때

지수가 정수일 때

지수가 유리수이고 지수를 기약분수로 표현했을 때, 지수가 음수이고 지수의 분모가 짝수일 때

지수가 무리수일 때

에는 우리가 지수 법칙의 조건 그대로 생각해도 문제 없습니다. 하지만

지수가 유리수이고 지수를 기약분수로 표현했을 때, 지수가 음수이고 분모가 홀수일 때

지수가 유리수이고 지수를 기약분수로 표현했을 때, 지수가 양수일 때

는 새로이 정리한 결과에 의해 다른 조건을 떠올려야 합니다. 말이 복잡해지니 그림으로 정리해보면 다음과 같습니다.

여기서 다시 의문이 생깁니다. '수학1에서 거듭제곱근, 유리수 지수와 실수 지수 활용해 지수 법칙 공부할 때는 분명 지수가 유리수일 때 지수 법칙을 적용하려면 밑이 양수기만 하면 된다고 했는데... 실제로 확인해보니 연산 목적으로 지수 법칙을 적용하지 않으면 지수가 유리수여도 밑이 음수일 수 있네? (유리수 지수를 기약분수 형태로 나누었을 때 그것이 음수이고 분모가 홀수일 때)'

그럼 현 교육과정에서는 이러한 것들은 따로 다루지 않는다고 이해해도 괜찮은 것인가요? 다시 말해 지수의 형태에 따라 밑이 언제 정의되는지는 확인할 필요 없이 지수가 실수 전체의 집합일 때 밑이 1이 아닌 양수라는 지수함수의 정의 조건과 지수의 형태에 따른 지수 법칙을 적용할 때의 조건 정도까지만 확인하면 되는 것인가요?

며칠 전 지수 파트 과외 하다가 문득 의문이 들었는데 스스로에게 명쾌하게 설명을 못해줘서 며칠째 고민하다 이렇게 질문의 형태를 완성했네요. 제가 교육과정 내에서 놓치고 있는 것이 있는지 혹은 교육과정 내에서는 거듭제곱근, 지수 법칙 정도만 이해하면 되는지 불특정 다수 분들께 여쭤봅니다.

너무사랑해~ · Accepted Answer

헐 저도 이거 궁금했는데 옛날부터 저거 책에 적혀는 있는데 막상 생각안하고 써도 음수만 주의하면 다 답 나와서 ㅋㅋㅋㅋ.. ㅜㅜ

책참 · Answer

시간 없으신 분들은 이 사진의 내용만 확인하신 상태에서...

'지수 법칙을 논할 때가 아닌 거듭제곱꼴 수 혹은 함수 (멱함수) 자체의 정의 가능 여부를 확인할 때에 대한 내용은 수능 수학을 대비할 때 공부할 필요가 없는가?'

에 대한 답을 나눠주시면 감사드리겠습니다

빙글빙글12 · Answer

미적 공부하다가 이런 상황을 딱 마주쳐서.. 글을 찾아봤는데 이런 글이 있었네요 ㄷㄷ 간단하게 따지자면 n이 유리수이고 실수 값을 구하고자 할 때는 거듭제곱근 형태로 바꿔서 해결하면 된다는 의미 같네요. 확실히 한 번 체크하고 넘어가야 할 부분인 것 같긴 합니다.

거듭제곱근, 유리수 지수 질문 (ft. 멱함수) (해결)

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