합성함수 파악 질문 (고민중) (ft. 2017학년도 수능 나형 30번)

작년 수능 끝나고 이런 글을 본 적이 있습니다.

"1711나30 제대로 학습하신 분들은 이번 22번 쉽게 풀었을 것이다"

저는 아직 이 문제를 제대로 풀어본 적이 없는 상태였어서 넘어갔다가 오늘 다시 시도해봤는데요

좌변은 4f'(x)+12x-18=6[2x(x-1)+1]이 되고 우변은 3[x(x-2)+2]에 g(x)가 합성한 형태가 되더라구요

그런데 구간 [0, 1]에서 좌변의 함수는 6에서 감소해 3을 찍고 다시 6으로 돌아오기에 f(x)가 역함수가 존재하는 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수라는 점에 기반해 g(x)는 [0, 1]에서 [g(0), g(1)]로 증가할 것이니 우변의 함수를 잘 조작해보면 무언가 되지 않을까 생각했습니다.

그런데 그냥 f'(x)에 g(x)를 합성한 형태를 전개하고 정리하면 g(x)와 두 일차함수를 비교하는 상황이 되길래 '음? 이건 231122와는 아예 다른 문제인데'라는 생각이 들더라구요

강사 분 7명의 해설을 찾아봐도 모두 g(x)=(일차함수) or g(x)=(일차함수)를 비교하지 f'(x)에 g(x)가 합성된 형태로 생각하시는 분들은 찾지 못했습니다.

이 문항이 2023학년도 수능 22번인데 이것은 평균값 정리를 통해 g(x)가 연속임을 이용하여 g(x)의 성질을 찾아내는, 합성함수 형태에서 겉함수가 결정되었을 때 그래프와 직관을 통해 속함수를 찾아내는 새로운 느낌이라 생각했었거든요 (미적분 기출 문항 중 속함수가 결정되었을 때 겉함수를 찾아내는 것은 2211미적28, 1909가30 정도가 떠오르네요. 반면 이 문항과 마찬가지로 겉함수가 결정되었을 때 속함수를 찾아내는 것 중 그래프, case분류와 논리를 통한 문항은 2311미적30, 2306미적28, 1911가30 정도가 떠오르고요!) 

그래서 만약 1711나30 학습이 231122에 도움이 된다면 그래프와 직관을 통해 g(x)를 결정해야 할 것이고 최소한 그래프, case분류와 논리를 통해 풀어낼 수 있고 이것이 자연스러운 풀이여야한다고 생각하는데 제게는 그런 풀이가 잘 보이지 않아서요.

혹시 식 계산해서 두 방정식 g(x)=(일차함수)를 비교하는 것 말고 좌변을 고정한 상태에서 우변의 함수의 그래프를 g(x)의 변화폭에 따라 생각하여 푸신 분 계신가요?