합성함수의 미분가능성 질문 (해결) (ft. 2019학년도 6월 가형 21번)
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보통 우리가 이 함수의 x=a에서의 미분가능성을 조사할 때
이렇게 미분계수 식을 조작하여 만약 g(x)가 x=a에서 평균변화율의 우극한과 좌극한이 존재하고 f(x)가 x=g(a)에서 평균변화율의 우극한과 좌극한이 존재한다면 lim를 분배해
합성함수의 평균변화율의 우극한과
평균변화율의 좌극한을 조사해 일치하면, 다시 말해 다음 상황이면 함수 f(g(x))가 x=a에서 미분가능하다 하잖아요?
이때 함수 f(x)가 x=g(a)에서 미분 불가능하거나 g(x)가 x=a에서 미분 불가능해도 되죠. 왜냐하면
이것이 성립하지 않아도 즉 위의 표현을 빌리면
이것이 성립하지 않아도 상관 없으니까요. 정리하면 다음이기 때문입니다.
그런데 만약 f(x)가 x=g(a)에서 미분가능성을 논할 수 없을 때라면 어떨까요? 저는 위의 극한식에서 lim를 분배할 수 없으니 당연히 합성함수도 미분 불가능할 것이라 생각했습니다. 그런데
이 상황에서 함수 f(g(x))의 x=0에서의 미분가능성을 조사해보면
에 대해 x=0에서 f(g(x))의 평균변화율의 우극한은
좌극한은
가 되어 다음이 성립하기 때문에 f(g(x))는 x=0에서 미분 가능합니다.
그럼 이제 궁금한 점입니다.
보통 우리는 합성함수의 미분가능성을 공부할 때 '기울기 곱'이 같으면, 즉 함수 f(x)의 x=g(a)에서의 평균변화율의 우극한과 좌극한이 존재하고 함수 g(x)의 x=a에서의 평균변화율의 우극한과 좌극한이 존재할 때 우극한값끼리의 곱과 좌극한값끼리의 곱이 일치하면, 합성함수를 구성하고 있는 두 함수가 미분 불가할 때도 합성함수는 미분가능하다고 생각합니다.
하지만 앞선 예시 (2019학년도 6월 가형 21번) 와 같이 둘 중 적어도 하나의 함수에서 순간변화율을 논할 수 없는, 다시 말해 평균변화율의 우극한만 논할 수 있거나 좌극한만 논할 수 있거나 둘 다 논할 수 없는 상황에서는 이 설명을 적용할 수 없습니다. 그렇다면 이를 각각의 합성함수로 바라보지 말고 직접 계산해야하나요? 혹은 이 관점을 적용할 수 있는 형태로 합성함수를 새롭게 잡아야하나요? (아래 참고)
물론 이렇게 잡아도 f(x)는 x=g(0)에서 평균변화율의 좌극한도 우극한도 존재하지 않기 때문에 논할 수 없다는 상황은 같은데... 어떻게 논리적으로 설명할 수 있을지 잘 모르겠습니다. 아래는 문제 원본입니다.
<댓글을 참고해 해결해본 결과>
만약 합성함수의 평균변화율을 두 함수의 평균변화율의 곱으로 바라볼 때 그것이 수렴하면 아래와 같이 lim를 분배할 수 있습니다. (저는 극한이 존재하지 않을 때 우극한부터 보거나 좌극한부터 보면, 다시 말해 한 쪽부터 바라보면 해결되는 상황들만을 접해왔나봅니다)
하지만 둘 중 하나라도 수렴하지 않는다면 lim를 분배할 수 없기 때문에 '다른 형태로 lim를 분배해볼' 생각을 해야했음. 왜냐하면 극한을 계산할 때 우리는 수렴하는 형태로 쪼개어 lim를 분배하라고만 (함수의 극한의 성질을 활용하라고만) 배웠지 합성함수가 주어졌다고 무조건 합성함수 미분법 증명할 때처럼 lim를 분배해야한다고는 배우지 않았기 때문. 다시 말해
을 우선 작성해보고 만약 바로 lim 분배가 가능할 각이 보인다면 굳이 두 함수의 평균변화율의 곱 꼴로 식을 변형하지 않아도 되었다는 뜻!
문제 상황에서는 함수 f(g(x))
의 x=0에서의 미분계수를 구할 때 단순히 아래 극한대로 계산할 수 있으므로 굳이 두 함수의 평균변화율의 곱 꼴로 쪼개어 바라볼 필요가 없었음. 만약 그렇게 바라본다 해도 (무한대)*(무한소) 꼴임을 확인하고 '아 다른 방법으로 다시 조사해봐야겠다'라는 생각을 바로 했어야 함.
피드백: 함수의 극한을 계산할 때는 우선 직관적으로 극한이 어디로 갈지 확인해보자. 만약 발산하지 않을 가능성이 있다면 (딱 봐도 수렴하거나, (무한대)*(무한소) 꼴이거나 (무한대)/(무한대) 꼴이거나 (무한소)/(무한소) 꼴 등... 이때 (무한대)/(무한대) 꼴이나 (무한소)/(무한소) 꼴은 로피탈의 정리를 이용해 보통 해결 가능했는데 (무한대)*(무한소) 꼴을 어려운 문항에서 본 적이 많이 없어서 풀이를 논리적으로 이어나가지 못했던 것 같음) lim를 분배 하기 위해 적절한 조작을 해주어야 한다. (이때 '적절한 조작'이기 때문에 A 상황에서는 A'를 하고 B 상황에서는 B'를 하라는 법칙은 없음. A 상황에서 A'를 했을 때 상황을 해결할 확률이 크고 B 상황에서 B'를 했을 때 상황을 해결할 확률이 크다... 를 평가원 기출 문항을 통해 학습해야겠음. 고3 때 한완수 공부하며 수1수2만 제대로 하고 미적분은 1회독도 못 했더니 이런 문제가 생긴 듯)
결론: 함수의 극한을 계산할 때는 우선 직관적으로 극한이 어디로 갈지 확인해보자. 만약 발산하지 않을 가능성이 있다면 lim를 분배 하기 위해 적절한 조작을 해주어야 한다.
+ 이를 깨닫고 나면 미분 가능한 함수 f(x)와 미분 불가한 지점이 2곳 있는 함수 g(x)에 대해 g(f(x))나 f(g(x)) 같은 것도 직접 확인해볼 필요가 있겠다는 생각이 드네요. 물론 g(x)가 미분 불가한 것이 평균변화율의 우극한과 좌극한 각각은 수렴하지만 이 둘이 같은 값으로 수렴하지 않기 때문이라면 처음에 생각했던 대로 합성함수의 평균변화율을 각 함수의 평균변화율의 곱으로 바라보아 '기울기 곱'을 생각해볼 수 있겠지만요! 같은 원리로 함수 g(g(g(f(f(x))))) 의 미분가능성도 직접 해보기 전까지는 딱 '된다', '안된다'로 말할 수 없다는 것을 알 수 있겠습니다. 아래 글 참고해보시면 학습에 도움 될 것 같아요
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x^½을 대충 미분하면 2x^(-½)이고 여기다가 g를 미분해서 나온 6sin²xcosx를 곱하면 sin²가 대충 x²니까 결국 12x^(3/2)cosx 정도가 된다.. 고 할 수 있지 않을까요
'논리적으로 설명'이라는 게 어느 정도를 말씀하시는 건지 모르겠는데
합성함수 미분법이라는 게 둘 다 미분가능할 때 적용 가능한 거니까, 엄밀히 따지면 미분가능하지 않을 때 기울기 곱으로 접근하려는 시도 자체를 하지 않아야 논리적인 것 같고
논리적이라는 말을 좀 널널하게 따지면 이 정도면 납득 가고 논리적?이지 않나 싶어요
논리적으로 설명이란 말 그대로 논리적으로 설명하는 것을 의도했습니다. 예를 들어 '미분가능하면 연속이다'를 증명할 때 미분계수의 정의와 함수의 극한의 성질을 사용하듯... 본문의 상황에서도 미분계수의 정의와 함수의 극한의 성질을 통해 증명해보고 싶었다는 뜻! 또한 기울기 곱으로 접근하는 것은 각각이 미분가능하지 않더라도 평균변화율의 우극한과 좌극한이 각각 존재하면 본문과 같이 pq=rs 꼴로 바라볼 수 있기 때문에 논리적입니다. 우선 아래 댓글 참고해 답을 구한 것 같습니다! 감사합니다
아 합성함수 미분법이 결국 함수 f(g(x))에 대해 g(a)=b를 만족할 때 (a, b는 상수) f'(b)*g'(a)라는 것이니까 f'(x)*g'(x)를 대충 생각해볼 때 x^(1/2)를 미분하면 x^(-1/2)/2이고 2[sin(x)]^3를 미분하면 6[sin(x)]^2*cos(x)이니 "대충 f'(g(x))g'(x)~f'(x)g'(x)~3x^(3/2)가 되어 미분가능하고 이때의 미분계수가 0일 것이다" (x=0에서 g(0)=0이기 때문) 뭐 이런 느낌으로 받아들이면 충분할까요?
네 원래는 그렇게 생각했었는데 지금 보니까 단순히 f'(0)×g'(0)이 아니라 f'(g(x))×g'(x)니까 sin^(-3/2)x×sin²xcosx 해서 sin^½x가 되어야 할 것 같네요.. 둘 다 똑같이 0 나와서 제가 나이브하게 생각한 듯
충분히 작은 양수 h에 대해 구간 (0, h)에서 g(x)=sqrtㅣf(x)-tㅣ에 대해 t=0이면 g'(x)=3/sqrt2[sin(x)]^(1/2)*cos(x)~[sin(x)]^(1/2) (차수만 고려) 가 되어야 한다는 말씀이시죠? 그렇다면 다시 말해 함수 g(x)가 구간 (0, h)에서 아래 조건을 만족하니 g(x)의 x=0에서의 우미분계수를 g'(x)의 x=0에서의 우극한으로 바라보는 풀이라고 이해할 수 있겠군요.
1. 함수 g(x)가 x=0에서 연속
2. 적당한 양수 h에 대해 구간 (0, h)에서 g'(x)가 연속
3. x=0에서 g'(x)의 우극한이 존재
f 평균변화율의 좌우극한이 무한대여서 그러시는 것 같은데, g의 평균변화율의 좌우 극한이 0이면 무한대X0 꼴이 되어서 계산하셔야 합니다
아 그러네요!! 2023학년도 6월 22번 이후로 '극한이 보이면 함수 식을 쪼개어 각각이 수렴하는 형태로 만들어 lim를 분배한다'는 생각을 갖고 있었는데 생각해보니 '수렴하는 형태로 만'든다는 것이 합성함수로 주어진 함수라고 해서 꼭 f'(b)*g'(a) 꼴로 바라볼 필요는 없었네요. 이렇게 바라보면 말씀하신대로 (무한대)*(무한소) 꼴이 되기 때문에 이렇게 식 조작을 하면 안되고 그렇다면 아래 풀어주신 방식대로 [f(g(h))-f(g(0))]/h 꼴 자체에서 sin(x)/x->0 as x->0을 활용하는 것이 적절했겠네요. 감사합니다!
맞습니다 ㅎㅎ [리미트 안의 곱형태가 각각 수렴할 경우 리미트를 분배할 수 있다]이지 각각이 수렴하지 않더라도 부정형이면 계산을 해봐야 하는 것이니까요! 화이팅입니다 :)
'왜 합성함수 미분법 유도하듯 쪼개었을 때 lim 분배가 불가했는데 수렴하지' 싶었는데 '부정형이면 직접 계산해봐야한다'는 아주 단순한... 것을 놓치고 있었네요. 다시 한 번 감사드립니다
합성함수 형태는 두 함수의 평균변화율의 곱 형태의 극한으로 해석할 수 있는데... 이때 각각이 수렴하지 않아 우극한 좌극한을 따로 생각해도 각각이 수렴하지 않기 때문에 ((무한대)*(무한소) 꼴이기 때문에)... 직접 계산해봐야하고 x->0일 때 sin(x)/x를 활용하면 각각이 0으로 수렴하여 주어진 함수가 x=0에서 미분가능함을 알 수 있다... 라고 사고 과정을 정리해볼 수 있겠네요! 감사합니다
제가 '극한이 보이면 lim를 분배할 수 있도록 식 조작 해보자'라는 생각에서 '합성함수 형태면 두 함수의 평균변화율의 곱 꼴로 식 조작 해보자'라는 생각만 더하고 있었네요. 곱 꼴로 식 조작했을 때 극한이 (무한대)*(무한소) 꼴이니 '다른 방식으로 조작'을 했어야 했고 그것이 풀이 해주신 x->0일 때 sin(x)/x->0을 활용하는 방식이었던 것 같습니다. 감사합니다!