2023년도 도쿄대학 본고사 수학 (이과)

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해설은 번역 귀찮 (카와이주쿠 해설)

카와이주쿠 총평

제1문은 x =√t 로 치환하면 익숙한 문제가 된다. 제5문의 정식은 수험생에게는 어렵게 느껴질지 모르지만, 정수의 합동식에서 유추하면 오히려 쉽다고 생각한다. 제2문의 확률, 제4문의 공간은 보통의 문제로 난이도는 표준적이다. 제3문은, (1)은 간단하지만, (2)에서 L_Q = L_R 을 정면으로 생각하면 어렵다. 함수 증감으로 귀착할 수 있는지가 포인트. 제6문은, 세부에 걸쳐서 엄밀하게 논의하려고 하면 설명이 어렵다. 결국은 이렇게 된다는 것을 간단히 설명하는 정도로도 답안으로서는 충분할 것이다.

전체적으로 생각하면 작년 수준의 난이도를 유지하고 있다고 생각된다.

문항별 코멘트 (요제미)

제1문: 적분법(정적분과 부등식, 구분구적법), 극한 (조임 정리)

적분법에 관한 응용 문제로, 수험생들 사이에서 차이가 발생하는 문항이라고 추측할 수 있다. (1) 정적분을 직접 계산할 수 없기 때문에, 적절한 방법으로 식변형을 한 후 부등식을 증명한다. 치환적분을 쓰면 좋다. (2) (1)에서 증명한 부등식에 시그마를 취한다. 생김새가 복잡해지지만, 현혹되어서는 안 된다. 조임 정리를 이용할 수 있는 형태로 만든다. 부등식의 최좌변 및 최우변의 극한은 구분구적법을 통해 구한다.

제2문: 확률 (같은 것을 포함하는 순열, 조건부 확률)

3색 구슬을 주머니에서 차례로 꺼내 가로 일렬로 배열하는 시행에 있어서의 확률과 조건부 확률을 구하는 문제였다. (1) 검은 구슬과 흰 구슬을 먼저 늘어놓은 다음, 그 구슬들의 사이와 양쪽 끝에 빨간 구슬을 늘어놓는다고 생각한다. (2) 어떤 검은 구슬도 어떤 빨간 구슬도 이웃하지 않는 순열의 총수를 어떻게 구하느냐가 포인트이다. (1)과 마찬가지로 검은 구슬과 하얀 구슬을 먼저 늘어놓을 때, 검은 구슬이 최대 몇 개 이웃하느냐에 따라 경우를 나누고, 각각에 대해 빨간 구슬이 어떻게 배열되어야 하는가를 생각한다.

제3문: 도형의 방정식 (원의 매개변수 표시, 영역), 미분법 (함수가 극값을 가질 조건)

원의 접선을 포물선으로 잘라낼 때 같은 길이의 선분이 존재하기 위한 조건을 구하는 문제이다. (1) 매개변수 θ를 이용하여 삼각함수로 나타내면 삼각함수에 대한 부등식이 되어 비교적 쉽게 구할 수 있다. 원의 방정식을 이용할 경우 x를 소거하고 생각하자. (2) 포물선에 의해 잘라진 선분의 길이는 포물선과의 공유점의 x좌표의 차와, 직선의 기울기, 두 가지로부터 계산하자. 또한 제곱근을 없애기 위해 선분 길이의 제곱의 변화를 생각하는 것이 좋다. θ를 이용하여 생각했을 경우, 선분의 길이의 제곱이 삼각함수의 분수식이 되는데, sin θ의 역수를 t로 바꾸어 도함수를 쉽게 계산할 수 있는 t에 대한 사차함수의 증감을 조사하는 문제로 귀착하자.

제4문: 공간벡터

공간좌표에 대해 주로 공간벡터를 이용하여 생각하는 문제이다. (1)은 내적에 대한 기초를 확인하는 문제. (2)는 공간에서 점과 직선의 거리가 최소가 되는 경우에 대해 알아보는 문제로, 여기까지는 확실히 득점하여야 하는 부분이다. (3)은 어떤 점을 중심으로 하는 구와 삼각형이 공유점을 갖는 구의 반지름의 길이의 범위를 구하는 문제이다. 도형적인 조건을 파악할 수 있다면 보다 간결하게 풀 수 있다.

제5문: 식과 증명 (정식의 나눗셈, 인수정리)

조건을 만족시키는 정식의 계수를 구하는 문제이다. (1) g(x)를 몫과 나머지를 사용해 나타내고, 그것을 일곱제곱해서 생각하면 된다. '정식 F(x)를 정식 G(x)로 나눈 나머지와 정식 H(x)를 G(x)로 나눈 나머지가 같다'는 것과 'F(x)-H(x)가 G(x)로 나누어떨어진다'는 것이 동치임을 이용하면 간결하게 기술할 수 있다. (2) (1)의 유도를 이용하여, h(x)^49-h(x)가 f(x)로 나누어떨어지는가를 생각한다. f(x)의 형태에서 인수정리의 이용에 주목할 수 있는가가 포인트일 것이다. 일반적으로 '정식 f(x)가 (x-a)^2를 인수로 가진다'는 것과 'f(a)=f'(a)=0이다'는 것이 동치임을 이용해 조건을 정리해 나가면 된다.

제6문: 공간도형, 미분법, 적분법

위 뚜껑이 열린 공간도형의 중심에서 뻗어나가, 선분이나 꺾인 선의 끝점이 움직이는 영역의 부피를 구하는 문제이다. (1)은 답이 되는 개형은 쉽게 상상할 수 있겠지만, 그것을 제대로 논증한다면 조금 어렵다. 위 해설과 같이 공간을 6분할하고 각각에 대해 설명하면 깔끔한 논증을 할 수 있다. 좌표평면 위 뚜껑이 열린 정사각형의 경우의 문제를 고려하면 분할 개념의 힌트가 될 것이다. (2)도, W에서 새롭게 추가될 영역을 결정하는 것 자체는 어렵지 않고, 또 마지막 정적분 자체는 전형적이지만, 거기에 이르기까지의 논증이 상당히 어렵다. x, y에 대한 대칭성을 이용하여 생각해야 할 상황을 좁히자.