극한 성질개념에 대한 확인 질문
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위 사진 처럼 극한이 존재하지 않는(발산) 함수 f(x)와 g(x)의 경우 에도 극한에 대한 성질을 이용할 수 있나요?
극한존재=수렴
극한존재x=발산
만약 이용 할 수 있다면
f(x)+g(x)는 극한이 존재하지 않는데
왜 '극한'에 대한 성질을 이용 할 수 있을 까요
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일단 수렴해야 성질도 이용가능
그러면 '극한에 대한 성질'에 대한 교과서 개념에서
왜 x->a+, x->a- 인 경우 에도 성립한다고 표현 하였을 까요? 좌극한 값이나 우극한 값이 존재한다는 것을 '극한'이 존재한다, 즉 수렴한다고 표현 안하지 않습니까?
우극한은 맞음
애초에 우극한은 존재하니깐여
좌극한도 맞겠죠
근데 그냥 극한으로 보면 거의 틀림
제가 문제 잘못봄요 ㅋㅋ…
우극한에 대해서만 해서 쓸 수 있어여
왜 우극한에 대해서만 사용 가능 하죠?
0에 대한 극한값은 존재하지 않지만 0일 때 우극한이 발산하지 않잖아요 그래서 x->0+에 대해서 극한값의 성질 적용 가능해여
발산한다는 극한값이 존재하지 않음을 포함하는 개념입니다.
넵 이건 알고 있고
그리고 좌극한에서도 또한 사용 가능 합니다.
엥 전 수렴할 때랑 극한값 좌우극한에 대해 나눠서도 쓸 수 있는줄 알았는데 잘못 알았나요???다시 공부해야겠네여...오개념을 말씀드린 거 같아 죄송합니다
아뇨아뇨 그게 아니라 왜 죄송해요....
교과서 개념에는 좌우극한의 일치가 극한이 존재한다는 내용이지
'좌극한의 극한이 존재한다'는 표현을 쓰지않고
또한 수렴한다는 표현은 극한이 존재한다는 표현이므로
좌극한이 수렴한다는 표현이 잘못된 것 같아
확인 질문을 드리는 것입니다.
오해하지 말아주세요
전 인류를 사랑하는 치인' 입니다...
그니까 제가 말한게 극한값이 존재하지 않기에 따로 나눠서 써야 되는건줄 알았는데 극한값에 대해서도 쓸 수 있다는건줄 알았네여 좌/우극한 나눠서 써야 된다는 말이었어여(오개념 없는거 맞져???)
그니까... 그...
댓글이 이해가 안됩니다. 새벽이어서 그런가....
극한값의 존재와 수렴을 따로 놓고 봐야 된다는 말이었어여 극한값의 존재는 수렴하여 일치하는 경우이므로 0에 대한 극한값은 존재하지 않아 정의할 수 없지만 좌극한과 우극한을 따로 놓고 볼 때는 각각 극한값이 존재하므로 수렴할 때의 사칙 연산을 쓸 수 있다는 말이었습니다
아뇨 틀린 것 같습니다. 극한값의 존재는 수렴하려 일치가 아니라
'수렴'입니다.
극한값이라는 뜻이 극한의 값 즉, 극한이 전제 되어 있어야 하는데 우극한이 존재한다는 것이 극한(극한값)이 존재한다고 표현 안하지 않습니까?
수렴의 정의 자체가 일정한 값에 한없이 가까워진다는겁니다. 왼쪽에서 수렴하는 값이 좌극한값 우측에서 수렴하는 값이 우극한값 이게 일치할 때 극한값의 존재를 정의할 수 있으니까요
극한값의 존재=수렴이라고 볼 경우
그럼 극한값이 존재하지 않을 경우는 좌극한과 우극한은 수렴하지 않는건가요??? 이렇게 될 경우 분리해서 극한값의 사칙연산 성질을 쓰지도 못합니다 극한값의 사칙연산 성질을 쓸 수 있는 경우가 수렴할 때이니까요
좌극한은 '값'입니다
좌극한값은 동의어 반복입니다.
또한 수렴은 좌극한과 우극한이 같다는 뜻이고
'발산'은 수렴이 아니면 발산이므로
좌극한과 우극한이 같지 아니하면 그것 또한 발산이므로 수렴이 아닙니다.
극한값이 존재하지 않을 경우는 여러가지 입니다만,
좌극한'과 우극한'이 존재할 때, 그 값이 같지 아니하면
수렴한다는 표현은 쓰지 않습니다
이는 제가 만들어 낸 것이 아닙니다.
수학에서의 수렴은 좌극한과 우극한이 같음을 말합니다.
확정은 아닙니다만
극한값이 존재할 때 , 수렴 할때, 즉 극한이 존재 할 때에(전제)(조건)
성질들을 사용시 우극한과 좌극한의 경우에도 가능한것 같습니다
수렴하면 결국 좌극한과 우극한이 같다는 것이고
이는 좌극한을 성질에 사용해도 이미 수렴이 전제 되어 있기 때문에 적용가능 하다는 것 같습니다.
지금 아는 선생님께 질문 드렸으니 확실한 개념을 알려주시면 꼭 댓글 달아서 알려드리도록 하겠습니다
극한값이 존재함, 극한이 수렴함은 같은 뜻이고 극한, 좌극한, 우극한 모두에 대해 사용할 수 있는 표현입니다. (e.g. f(x)의 x=0에서의 우극한이 3으로 수렴한다)
그리고 극한의 성질은 같은 종류의 극한 사이에서 항상 적용 가능합니다.
https://m.sungji.com/Community/QnaView.aspx?page=132&gubun=101&boardSN=15958
우극한이 3으로 수렴한다는 표현은 잘못된 표현입니다.
https://orbi.kr/00058838222/%EC%88%98%ED%95%992-%EA%B5%90%EA%B3%BC%EC%84%9C-%EA%B0%9C%EB%85%90-%EC%A0%95%EB%A6%AC,-%EC%88%98%EB%8A%A5-%EA%B0%9C%EB%85%90-%EC%A0%95%EB%A6%AC-%EB%B0%8F-%EC%A6%9D%EB%AA%85?q=%EC%88%98%EB%A0%B4%20%EC%A0%95%EC%9D%98&type=keyword
극한이 존재한다는 것이 수렴한다는 것 입니다
[ 수렴의 교과서 정의 ]
x->a 일때 f(x)->A (A는 상수)
잘못된 표현이 아니라는 거예요. 좌극한, 우극한도 극한의 일종이에요. 극한(값)이 존재하면 수렴한다고 말할 수 있어요.
제가 헷갈리는게 '극한'의 정의가 좌극한과 우극한의 일치인데 왜 '좌극한이 극한이다'라는 표현을 쓰는지 모르겠네요
"x=a 에서 극한값이 존재 ⇔ x=a 에서 좌극한과 우극한이 존재하며 두 값이 일치"
는 정리이며, 정의는 아니에요.
"독립변수가 특정 값이나 양/음의 무한대로 한없이 가까워질 때 함숫값, 수열 등이 한없이 가까워지는 값"
으로 극한을 정의합니다.
만약 "좌극한과 우극한의 일치"로 극한을 정의한다면 미적분에서 배우는 "수열의 극한"은 잘못 붙인 이름이라 해야겠죠. 수열에는 좌극한이나 우극한이 없으니까요.
이게 계속 반발하는 것 같습니다만 그게 절대 아니고
개념서에 보면 수렴은 "x->a 일때 f(x)-> A (이는 x->a가 아닌 x->양의 무한대, 음의 무한대 일때도 성립한다)"
'함수의 극한이 존재한다는 것은 좌극한과 우극한이 같다'는 것이다' 라고 설명하고 있는데 어떻게 이해하는 것이 좋을까요?
함수의 극한이 존재한다랑 '극한'이랑 다른건지 뭐 어떻게 이해하면 좋죠?
또한 '좌극한과 우극한이 다르면 극한은 존재하지 않는다고 정의한다'라고 말하는데 이해를 못하겠어요
한완수 교과개념편 p17입니다
수능이나 고교 내신 문제풀이를 위한 교과서와 개념서는 정의와 정리를 엄격하게 구분하지 않기도 하고, 편의상 수학적인 개념을 임의로 직관적으로 풀어서 설명하기도 해요. 그 차이를 몰라서 시험에서 틀릴 일은 없으니 문제가 되지는 않죠.
학부 과정 미적분학에서 배우는 엡실론-델타 논법을 아시면 이해가 안 되는 부분이 없을 거에요.
https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_of_a_function
그럼 좌극한과 우극한이 같지 않아도 극한은 존재하는 것 인가요?
x=a 에서의 좌극한과 우극한이 존재하고 그 값이 서로 다르면 x=a 에서의 극한값은 존재하지 않아요.
중요한 점은 이때의 "극한값(limits)"이라 함이 x가 a의 양쪽에서 한없이 다가간다는 two-sided limits 의 축약이라는 거예요.
좌극한과 우극한은 one-sided limits이고, 모두 극한(limits)의 일종이라는 맥락에서 "수렴한다"고 표현할 수 있는 거죠.
그럼 이 수렴의 개념도 선생님께서 말씀하신 대로
우(좌)극한이 일정한 값을 가지면 수렴한다 라고 이해하면 되나요?
네 맞아요.
교과서가 틀렸다기보다는 "x→a 일때" 를 전제로 함수의 수렴과 발산을 설명한다고 보시면 돼요. 굳이 설명하지 않지만 우극한과 좌극한(one-sided limit)에 대해서도 적용할 수 있는 개념입니다.
적어 놔야 겠네요 혹시
정체를 여쭤보아도,,,되는지,,,,,
은자 같아요 도사 ㅋㅋㅋ
대학생입니다. 공부하시는 데에 도움이 됐으면 좋겠네요!쓰릉함니다앙~♡♡