수리질문)
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'실수 전체의 집합에서 정의된 함수' 라는 뜻은 결국
모든 실수에 대해 함수 값을 정의 할 수 있는 함수 이므로
f(x)의 정의역이 어떠한 수에 한없이 가까이 갈 때
그 함숫값도 그에 대응한다는 뜻이므로
좌극한과 우극한이 존재하지 않습니까?
(극한 존재보장X = 수렴 보장X)
그러면 이 문제에서 f(x)는 연속임에 자명하고 g(x) 또한 좌극한과 우극한이 존재하므로 f(x)+g(x)에 x=0에서의 좌극한을 취해서
극한의 성질을 이용하여 분리 가능하지 않습니까?
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예 ) 실수 전체에서 정의된 함수
g(x) = -x (x<0)
4 (x=0)
x+2 (x>0) g : R -> R대응됩니다.
실수 전체에서 정의된 함수 : 함수가 구멍뚫리지 않고 모든x에 대응하는 y존재
연속함수 : 끊어지지 않고 이어진 함수, 극한값 = 함숫값
실수 전체에서 정의되면 극한값은 존재하지 않지만
좌'극한과 우'극한은 존재하지 않습니까?
"극한값의 존재" <=> 좌극한과 우극한이 존재하고 , 그 값이 같음을 뜻하는 것이고, 좌극한, 우극한이 발산하지 않는다면 좌극한과 우극한은 존재합니다.
아,,,,, f(x)= 1/x (x가 0이 아닐때)
1 (x= 0)
의 반례만 보아도,,, 실수 전체에서 정의 되었지만
좌 극한과 우 극한이 존재하지 않음을 보일 수있는데
생각짧게하고 질문 드렸던 것 같습니다 죄송합니다.
감사합니다
'f(x)의 정의역이 어떠한 수에 한없이 가까이 갈 때 그 함숫값도 그에 대응한다는 뜻이므로'가 오류입니다. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수라면 이 문장이 성립하지만 실수 전체의 집합에서 정의되었다는 조건만으로는 모든 x값에 대해 극한값이 존재하고 그것이 함숫값과 일치한다고 판단할 수는 없습니다.
근데 직관적으로 실수 전체의 집합에서 정의되었는데 연속이 아닌 함수를 구간 별 함수로 작성하지 않고 수2 수준에서 떠올리기는 쉽지 않다고 생각하긴 합니다.
아... 글쿤요... 결국은 구간별 함수로 풀이하는 것은 잘못된 풀이인 것이군요...
모든 x에 대해 극한' 은 존재하지 하지 않을 수도 있지만
좌'극한 우'극한은 존재 가능 하지 않습니까?
아니요 정의되었다해서 극한은 말할 수 없습니다. 예를 들어 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)의 x=a 근방을 바라본다면
f(a)가 존재함을 알 수 있습니다. 다만 lim (x->a+) f(x) 나 lim (x->a-) f(x) 에 대한 정보는 알 수 없습니다. 왜냐하면 우리는 정의되었음만 알지 그것의 극한이 존재하는지는 직접 확인해봐야하기 때문입니다. 고등학교 수준에서는 직관적으로, 혹은 식 계산으로요! 대학교 수준에서는 각 지점(?)별로 입실론-델타 논법을 적용해 확인하시면 됩니다.
물론 앞서 말씀드렸듯이 수2 수준에서 f(x)=x^3-7처럼 딱 하나의 식으로 표현한다면, 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)는 모든 지점에서 좌극한, 우극한이 존재하며 그 둘이 일치하여 극한이 존재하고 극한값 마저 함숫값과 일치하여 연속일 '확률'이 큽니다. 다만 명제 상으로는 엄밀히 거짓이기 때문에 이렇게 답글 답니다.
확률이 큰 것일뿐 확정은 아니다....
새겨 듣겠습니다 감사합니다.
좋은 말씀 적어주셔서 노트에 적어놔야겠어요