속함수 변곡점은 전체에서도 항상 유지된다! 뉴런에서도 알려주지 않은 개념

Question

방금 이 문제를 풀다가 고민해서 알게 된 거임.

뉴런에서 합성함수의 극대 극소는 쉽게 알수 있는 대원칙이 있는데

변곡점은 설명해주지 않해준다.

그래서 한 번 그래픽 계산기에 뚜드려 봤는데 뭔가 대단한 걸 발견한 듯한 기분이었음

보라색 그래프가 두 개인데 밑에 잘렸네. 마지막 거는 g,h,i,p,q를 제곱하고 더하고 나눈 그래프임.

아무튼 귀납적으로 변곡점은 속함수 변곡점의 x좌표에 그대로 생긴다는 것을 알수 있음. 그럼 겉함수에서는 어떨까? 당연히 겉함수 변곡점 x좌표에서 변곡이 생기겠지.

원리는 잘 모르겠다 근데 ㅎㅎ

시스투스 · Accepted Answer

변곡점의 기울기가 0이 아닌 경우도 해보세요

책참 · Answer

이계도함수가 연속인 함수 g(x)의 변곡점 (a, g(a))에 대해
g''(a+h)g''(a-h)<0 이다. (h는 충분히 작은 양의 실수)

이계도함수가 연속인 함수 f(x)에 대해 함수 h(x)=f(g(x))를 정의할 때
h'(x)=f'(g(x))*g'(x)
h''(x)=f''(g(x))*(g'(x))^2+f'(g(x))*g''(x)

h''(a+h)=f''(g(a+h))*(g'(a+h))^2+f'(g(a+h))*g''(a+h)
h''(a-h)=f''(g(a-h))*(g'(a-h))^2+f'(g(a-h))*g''(a-h)
에 대해

h''(a+h)h''(a-h)<0임을 g''(a+h)g''(a-h)<0 만 갖고 판단할 수는 없죠!

엄밀한 증명은 아니겠지만 "합성함수 y=f(g(x))에서 g(x)의 변곡점은 f(g(x))의 변곡점이다." 명제가 거짓임을 우리가 충분히 받아들일 수 있을 정도로 설명할 수는 있을 것 같습니다.

속함수 변곡점은 전체에서도 항상 유지된다! 뉴런에서도 알려주지 않은 개념

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