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김현_1002 [1167201] · MS 2022 (수정됨) · 쪽지

2023-01-29 20:30:35
조회수 1,203

(칼럼)2024 수능 기하 Chapter.1 포물선의 정의 #3(마무리)

게시글 주소: https://orbi.kr/00061704112

 지난 칼럼 #1, #2편에서 우리는 포물선 문제를 접했을 때 어떠한 태도로 이를 다뤄야 할지, 어떤 실전 개념들을 이용해서 풀 수 있는 지에 대해 이야기해봤습니다. 백문이 불여일견이라고들 하죠? 이번 칼럼에서는 최근 2년 간의 평가원 및 수능 기출 문제들에 직접 적용해서 다루는 시간을 갖도록 하겠습니다. 저번에도 말씀 드렸다시피, 이번에도 먼저 문제를 직접 푸신 다음에 해설을 보시기 바랍니다.

30분 간 문제를 풀었는데도 풀지 못하시면 그때 해설을 보시기 바랍니다.


1. 2022학년도 6월 평가원 29번








(해설)

 먼저 풀고 오셨는지요? 우선 해설을 하기에 앞서서 실전 개념 하나를 추가로 알려드리고자 합니다.

사실 이 개념 같은 경우에선 EBS 문항이나 사설 문항에서도 종종 쓰이는 개념이라, 많은 분들이 알 거라고 생각하지만 말이죠.

손으로 작성해둔 내용을 텍스트로 작성을 해보자면, 두 곡선 C1, C2가 서로 평행 이동 관계라면, 그 x값의 변화량과 y 값의 변화량의 비를 1:m이라고 할 때, 두 곡선을 지나는 기울기가 m인 곡선에 대하여 생기는 교점들은, 그 교점을 포함하는 곡선 위에서의 상대적 위치가 서로 동일하다는 내용입니다.

여기서 상대적 위치가 동일하다는 것은, 한 곡선을 다른 곡선 위로 평행이동 시키면 그 교점들이 완벽하게 겹친다는 이야기입니다.(물론 공식적인 용어는 아니고, 여기에서 편의 상 쓴 용어입니다.)


자 이제 본격적으로 해설에 들어가 보도록 하겠습니다.

 첫째, 주어진 두 포물선을 각각 C1, C2라고 합시다. 이때 x: a y:2a 만큼 평행 이동 시켰고, 포물선의 초점을 지나가는 직선 상태이므로 C1과 직선이 만나는 점 중 A가 아닌 점을 E라고 할 때, 두 점 B, A와 두 점 A, E의 곡선 위에서의 상대적 위치가 일치하는 것을 알 수 있습니다.

 둘째, 주어진 직선이 두 포물선의 초점을 지나기 때문에 우리가 배운 공식들을 쓸 수 있습니다.

이 두 가지를 이용해 우선 구하는 (선분 AB의 길이)를 구하자면 칼럼 #2에서 익힌 3번 공식에 따라, 기울기가 2, p=2이므로 (선분 AB의 길이)=10임을 알 수 있습니다.

(선분 AC의 길이)의 경우, 칼럼#2에서 배운 공식 2에 의거해 구할 수 있고, 이는 5+(제곱근 5)입니다.

앞서 말씀드렸다시피 곡선 C2 위에서의 A의 위치와 곡선 C1에서의 상대적 위치가 동일하므로 이를 이용해서 식을 작성하면 (선분 AC의 길이)=5+(제곱근 5)=5-(제곱근 5)+a입니다. 곧, k의 값을 구해보자면 k=4*(제곱근 5). 따라서 k^2=80입니다.


(손 풀이 해설)


2. 2022학년도 9월 평가원 26번

(해설)

누누이 말씀드리지만 전 수학 문제를 푸는 것은, 조건들의 교집합을 찾는 것이라고 생각합니다.

첫 번째 조건은 주어진 포물선의 방정식이겠지요. 포물선이 주어지면 우선 포물선의 정의에 관한 그림을 완결 짓는 것을 하나의 필연적인 사고로 가지고 가시기 바랍니다.


포물선 조건: 포물선의 방정식 y2=4px


포물선의 정의에 따라 두 선분 AF, AB의 길이가 같음을 알 수 있습니다. 

이때, 지문에서 두 선분 AB. BF의 길이가 같다고 제시(명시된 조건)하였으므로

삼각형 ABF는 정삼각형(주어진 특수한 상황)입니다.

선분 AF의 길이는 직선 AF가 초점 F를 지나기 때문에, 길이 공식 2번에 의거해 작성하면 

(선분 AF의 길이)=4p임을 알 수 있습니다.

점 C에서 준선에 내린 수선의 발을 H라 할 때, 직각삼각형 BCH는 특수각(주어진 특수한 상황)에 의해

(선분 BC의 길이):(선분 CH의 길이)=2:1입니다. 이때, 다시 한 번 포물선의 정의에 따라

(선분 CH의 길이)=(선분 CF의 길이)이기에

BC의 길이를 2k, CF의 길이를 k라 하면 2k+k=4p, 곧 k를 p에 관한 식으로 나타낼 수 있죠. 

이제 (선분 BC의 길이)+3(선분 CF의 길이)=6(명시된 조건)에 구한 값을 대입해주면

p=9/10임을 알 수 있습니다.


(손 풀이 해설)

3. 2022학년도 수능 28번

(해설)

우선 지난 칼럼을 보신 분이라면 당연히 보이겠지만, 포물선의 초점을 지나가는 직선 유형입니다.

이런 상황에선 우리가 배운 공식 세 가지를 적용 시키는 게 유리하겠죠? F1에서 x축에 내린 수선의 발을 H라 합시다. 이때 HF2의 길이는 p+1이죠. 이를 통해 우리가 원하는 cos 값을 구했습니다.

이제 우리가 배운 공식에 적용 시켜봅시다. 그러고 나서 이 둘을 더하면, 명시된 선분들의 길이 값에 의해 합이 2이므로 p에 관한 방정식으로 받아들일 수 있죠. 이를 통해 p의 값을 구해주면 p의 값은 1/2입니다. 

p를 알기 때문에 이를 적용해 표시해주고, 삼각형 F1F2H는 직각삼각형(주어진 특수한 상황)이기 때문에 피타고라스의 정리를 적용하면 a의 값을 구할 수 있고, 정답은 7입니다.

(손 풀이 해설)

4. 2023학년도 9월 평가원 28번

(해설) 

포물선의 방정식을 문제에서 두 개 제시하였고, 원하는 상황(두 선분의 길이가 같음)을 포물선의 정의에 따라 구하면, 두 포물선의 준선이 일치하는 상태임을 쉽게 알 수 있습니다. 그렇게 된다면 이는 곧

-p+f(p)=-1(단, p는 1 이상의 실수)이라는 주어진 방정식에서의 실근이 단 하나 존재하는 상황이 되도록 하는 a의 값을 구하는 것임을 알 수 있죠. 이를 정리하면 p에 관한 이차방정식 꼴이고, 원하는 상황은 판별식 D=0이 되는 상황입니다.(자세한 내용은 손 풀이 해설에 기입해두었고, 만약 잘 모르시겠는 분들께서는 댓글로 남겨주시기 바랍니다.)

(손 풀이 해설)

 이렇게 해서 포물선의 정의에 관한 커리큘럼을 마치겠습니다. 다음 주 일요일부터는 타원의 정의에 관련한 내용으로 다시 돌아오겠습니다. 고생하셨습니다.

#질문은 댓글로 남겨주시기 바랍니다!


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김현_1002 [1167201]

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