명제'역함수가있으면 일대일대응이다'는 참인가
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명제'역함수가있으면 일대일대응이다'는 참인가
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일대일 대응이 아니다 => 전단사함수가 아니다 => 전사가 아니거나 단사가 아니다.
전사 함수가 아닌 경우, 정의역 문제 때문에 역함수 존재 X
단사 함수가 아닌 경우, f(x)=f(y), x!=y인 x, y 존재 그러므로 역함수 존재 X
일대일 대응 X => 역함수 존재 X
즉 역함수 존재 => 일대일 대응
어떤함수든지 역함수가존재하면 일대일대응이란말이신가요?
네
지수함수는 f(x)=y가 모든실수x에 정의되어져있을때
역함수가 존재함으로 모든실수x에대하여
일대일대응인가요?
네, 근데 역함수가 존재해서 일대일 대응이라기 보단, 일대일 대응이라서 역함수가 존재한다고 보는게 더 일반적이죠.
왜냐하면 역함수가 존재함을 증명하는게, 일대일대응임을 증명하는거 보다 어려우니까요.
일대일대응는 치역과공역이 같아야하는데
지수함수는 모든실수x에대해서 치역과공역이 다른거아닌가요?(치역은 0보다큰데 공역은 전체실수아닌가요?)... 이게이해가잘안되네요
공역을 양의 실수의 집합으로 잡으면 되죠. 공역이 꼭 실수 전체일 이유는 없습니다.
그리고 만약 공역이 실수전체면, 지수함수는 역함수를 가지지 않죠. x<=0에 대해 log x가 정의되지 않았으니까요.
그럼 x가 실수전체의 집합일때는 일대일대응이아닌가요?근데왜 역함수가있나요?
실수전체의 집합이면, 역함수가 없어요. f: R->R, f(x)=e^x의 역함수 g는, 만약 존재한다면, 정의역이 R이어야하는데, 로그함수는 정의역이 R이 아닙니다.
그러니까 역함수가 존재하려면 공역과 치역이 같아야 해요.