기하허수가써보는합벡터(일차결합)다루는간단팁
게시글 주소: https://orbi.kr/00072908250
본 칼럼은 물개물개님의 칼럼 대회에 제출한 칼럼의 수정본입니다.
급하게 썼던지라 수정할 게 너무 많아서 사실상 새로 써서 늦었습니다...
기하 문제를 풀다 보면 벡터의 합을 다룰 때가 많습니다.
작년 9월 모의평가 기하 30번을 비롯하여 합벡터의 최대/최소를 묻는 문항이 많이 출제되었고,
작년 수능 기하 30번처럼 문제의 조건에 벡터의 일차결합으로 특정 점(위에선 Q)의 자취를 제공하기도 합니다.
이런 기하 문제들의 해설을 보면
(2025학년도 9월 모의평가 기하 30번 EBS 해설 중)
위와 같이 갑자기 새로운 점을 잡아 벡터식을 변형하는 경우가 있습니다.
물론 기하공부를 많이 하신 분들은 경험적으로 어떤 점을 새로 잡아야 할 지 알고 계시겠지만
조금 더 생각을 덜 할 수 있는 방법에 대하여 써 보려 합니다.
방법은 간단합니다.
결론을 먼저 벡터식으로 질러 놓은 후, 계산을 통해 점의 위치나 자취를 찾는 것입니다.
최대/최소 문제와 확대/축소를 나누어서 보겠습니다.
1. 합벡터의 최대/최소 문제
위의 2025학년도 9월 모의평가 기하 30번을 예시로 한번 보겠습니다.
의 최댓값과 최솟값을 구해야 하는 상황입니다.
즉. 의 최대/최소를 구하면 됩니다.
일단은 이를 선분의 길이의 최대/최소를 구하는 문제로 전환하기 위해
를 한 벡터로 만듭니다.
식에서 보이는 네 점 중에서 한 점만 계수까지 유지하여 고정하고, 일단 결과를 쓴다고 생각합니다.
점 P가 시점에 있었으니 그것만 고정하여 점 P가 시점에 있도록
과 같이 일단 식을 지릅니다.
이때 점 R의 위치를 먼저 알 필요가 없습니다.
를 계산하면 점 P의 계수를 맞추어 놓았으므로
과 같이 점 R의 위치가 그냥 구해집니다.
점 Q가 세 점 C(7, 1), D(7, 0), B(8, 0)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 위를 움직였으니
점 R은 세 점 (3, 3), (3, 2), (4, 2)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 위를 움직입니다.
그 후는 위와 같이 최대/최소를 구하면 됩니다.
위에서 점 P가 아닌 점 Q를 고정하면
가 됩니다.
이때 점 S는 아래의 EBS 해설의 점 P'이 됩니다.
해설처럼 먼저 새로운 점의 자취를 구할 필요 없이 일단 벡터식을 질러 놓고 나중에 그 점의 자취를 고민하면 됩니다.
네 점 중 하나를 고정한다고 했는데, 동점을 고정할 때와 정점을 고정할 때의 양상이 조금 다릅니다.
위에서 이번엔 점 O를 고정하여 라 지르면
, 즉
가 됩니다.
각각의 점 Q에서 만큼 평행이동한 점 T의 자취(영역)를 구하고,
정점 O와 영역 위의 점 T 사이의 거리의 최대/최소를 구하게 되는 상황입니다.
이렇게 정점을 고정하면 자취끼리 합하게 되는 상황이 발생하므로,
세 벡터 이상의 합벡터를 다룬다거나 하는 경우를 제외하면 보통은 동점을 고정하여 두 동점 사이의 거리를 구하는 것이 편합니다.
2. 확대/축소
일단 정점 O와 도형 위를 움직이는 점 P에 대하여
를 만족시키는 점 Q가 나타내는 도형은 그림과 같이 도형 를 점 O를 중심으로 k배 확대한 도형입니다.
위에서 닮음의 중심을 찾는 방법에 대해 알아보겠습니다.
작년 수능 기하 30번입니다.
를 풀면 점 X가 나타내는 도형
는 선분 BC를 지름으로 하는 원임을 알 수 있습니다.
에서 점 Q의 자취를 구해봅시다.
(2025학년도 수능 기하 30번 EBS 해설 중)
EBS 해설을 보면 원점을 시점으로 하는 위치벡터로 만들어 계산한 후,
축소한 도형을 평행이동한 것으로 설명하고 있습니다.
EBS와 다르게 바로 닮음의 중심을 찾아봅시다.
일단 에서 두 점 P, Q가 포함된 벡터의 계수를 보면 닮음비는 바로 알 수 있습니다.
모든 벡터를 원점(이때 원점의 위치는 어디든 상관없습니다.)을 시점으로 하는 위치벡터로 만든다고 생각하면,
좌변에서 의 계수는 -4,
의 계수는 4
우변에서 의 계수는 -3이 될 것입니다.
좌변의 를 우변으로 넘긴다고 생각하면
가 될 것이고,
뒤쪽은 어차피 정점으로만 이루어져 있을 것이니
일단 닮음의 중심은 정확하게 몰라도 점 Q가 나타내는 도형은 점 P가 나타내는 도형을
1/4배로 축소한 도형임은 알 수 있습니다.
닮음의 중심을 E라 하면 점 Q가 점 P가 나타내는 도형을 1/4배로 축소한 도형이므로 일단
와 같이 식을 지릅니다. 이때 점 E의 위치를 먼저 알 필요는 없습니다.
그 후 두 식 ,
에서 양변을 빼 주어 계산하면
P, Q는 계수를 맞추어 놓았기 때문에 계산 과정 중에 사라지고, 을 얻습니다.
즉, 점 E는 점 BD를 2:1로 내분하는 점입니다.
그림과 같이 점 B를 원점으로 하여 좌표를 잡아봅시다.
점 P가 나타내는 원 의 중심을 M(2, 0)이라 하고, 점 Q가 나타내는 원의 중심을 N이라 하면
점 Q가 나타내는 도형은 원 를 점 E를 중심으로 1/4배로 축소한 도형이므로
점 E에서 원의 중심까지의 거리도 1/4배입니다.
따라서 점 N은 선분 EM을 1:3으로 내분하는 점이므로 좌표를 구할 수 있습니다.
즉 점 Q가 나타내는 도형은 점 N(5/2, 2)를 중심으로 하고, 반지름의 길이가 1/2인 원입니다.
결론
내용을 보셨다면 아시겠지만 꼭 위와 같이 최대/최소, 확대/축소 상황이 아니더라도
합벡터를 다룰 때 새로운 점의 위치나 의미를 생각한 후 벡터식을 변형할 필요가 없이
먼저 결과로 나오는 식을 지른 후 계산을 통해 새로운 점의 위치를 찾을 수 있습니다.
벡터가 도형을 계산으로 다룰 때 매우 유용한 도구임을 느끼실 수 있으면 좋겠습니다.
끝
0 XDK (+50,000)
-
50,000
-
너무 귀여워..
-
레전드 고양이상 0
누구 닮았다
-
아는 친구들이 다 메이플해서 수능 끝나고 걔들이 메이플 츄라이해보라고 하는데 피지컬...
-
저거 다운수 왤케 많지
-
파마늘츠크랭크
-
현우진 시냅스 0
수1수2 뉴런 이제 시작하는데 시냅스도 같이 해야 할까요?수분감 1회독 햇어영 7모 84 기하
-
군필이면 더더욱 어떻게 그런 글을 쓸 수 있지 싶음 그 부조리함을 두 눈으로 똑똑히 보고도?
-
알려주고 싶은 게 많은데
-
아 슈발 10
오늘 카페 갔는데 같은 재수학원 다니는 사람이 나 알아보고 번호 달라해서 솔직히...
-
2029년, 만33세될때까지 재계약 ㄷㄷ
-
쌈무나보고가라 1
-
아배고프다 2
점심좀빨리먹자...언제옴
-
미적과탐 세기말 수능을 어떻게 참아~
-
1번 뒤 문장의 this reaction 보고,, 이 앞문장이 ‘부모들이 사과가...
-
생1은 그래도 가르쳐보고 싶긴한데 물론 중하위권 친구들 대상으로..
-
이번년도 신작 고트인듯 ㄹㅇ
-
오히려 역효과만 나는거 아님? 내 친구들도 공부못하면 수특에 있는ktx로 서울에서...
-
유튜브 알고리즘에 ㅈㄴ 뜨네
-
지금 기억남는게 skyrocket - 급등하다 이거 말곤 아무것도 생각이 안나네
-
미적 1컷 89라고 분탕치고다녓는데 그것이 어느정도 맞아서 당황했던
-
로 바꾼 사람도 있더라죠
-
사평우 어디감? 4
안돌아옴?
-
뭔가 허전함요 이거 완전 가형호소인임요
-
라면 부셔먹을까 4
신라면
-
그저 빛
-
부엉이포스트에 1회 뜨나요?? 현장응시했고 연구소문자도 왔는데 2회부터 뜨네욭..
-
학생들 각자 목표가 다르니 어느 등급대든 다 수요가 있으려나.. 과외하시는 분들...
-
샤인미 미적 푸는중인데.. 대충 보니까 딥마인드 요친구가 킬러급난이도 모아뒀다...
-
1택
-
이제는 브롤 생각 안나니까 다행임요
-
Everyday Grow, and Glow "매일 성장하며 빛날 당신" 안녕하세요,...
-
거울이 나라고 해다오
-
ㅇㅇ 지금은 외국에 있어서 못만난지 벌써 햇수로 19년째임 ㅠㅠ
-
[Web발신]...
-
기들기들 N제가 아닌 부엉이 N제이다
-
구체적인 풀이법이나 팁 문항 질문도 받아요
-
안녕하세요 원래 인터넷에 글 잘 안쓰는데 최근에 갈피를 못잡고 막막해서 글...
-
일요일 지금 이 시간까지 공부하는 사람은 전국에 10프로도 안될 것이며 나는 그...
-
빈칸은 그래도 어느정도 언어감 있고 어휘 알면 논리적으로 답이 명확한데 순삽은 진짜...
-
나는 저렙노프사 가입 10일 된 분탕인줄 알았는데 아니 어떻게 그런 소리가 나오지;...
-
물리학과 학부로 석사로 전자 이런식으로 할 수있나요? 웬만하면 대학원 갈 생각인데,...
-
원서 개떡같이만 안썻어도
-
우하하하 1
하하하
-
ㅎㅎ
-
뭔가 월요일이라 현역파티일거같은데 눈치보임 쫄림 ㅜ
-
성대나 한양대 가고 싶어서 재수했어
-
저거 틀려도 93이상은 나오긴하는데 수능때 갑자기 삽입이 쉽고 다른게 어려우면 어떡함
님이었군요
기하하하하
캬

고수 ㄷㄷㄷ
히히다른 기하러분들인줄 알앗는데 님이었네
누구라고생각한걸까
글에 추가해 드렸어요 :)
최고다 리아테!
이거보고 주머니에서 흰 공 뽑기로 결심했다
PQ+OE = PR애서 OE = PR-PQ하먄 OE = QR 아닌가여?? OQ = ER이라거 되어있는뎅 계산 어케 하신건가여
QR=OR-OQ이니 이항해서 계산해보세요
아뭐야 그렇네요ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ감사합니다!! 잘읽었어요
이겨놓고 싸우는 법 ㄷㄷ
기하황
이되고싶다
아니이왜아테
어차피심사할때보신거랑사실상다른칼럼이아닐까요
좋은 내용입니다
하지만 작수30은 그냥 뇌비우고 다 쪼개버리는게 더 단순해지는거 같아요, 그래서 좀 특이한 출제라고 생각하고