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키랄 [488086] · 쪽지

2015-05-14 12:12:31
조회수 5,712
1

미분계수의 엄밀한 증명

게시글 주소: https://orbi.kr/0006019015

안녕하세요^^

포카칩 선생님의 미분계수 오개념 프린트를 풀다가 궁금한 사항이 있어서 올려요

일단 명제는 이거에요

f(x)가 x에서 미분가능할 때 도함수의 극한값이 존재한다.(뒤에 수렴한다는 못썻네요 수식에 ㅠ)

명제 자체는 틀려요

이런 반례가 있습니다. 일단 0에서 연속이고 미분의 정의에 따라서 계산해보면 xsin(1/x)는 그냥 0으로서 미분게수가 존재합니다.

하지만 저 위 식을 미분해서 0에서의 극한값을 조사하면 진동하기때문에 극한값이 존재하지 않습니다.

여기서 드는 의문은 이것입니다.

기출문제를 풀다보면 많이 볼 수 있는 구간별 함수입니다.

보통 일반적으로는 연속이니까 1대입하고 좌미분계수=우미분계수 이어야하므로 왼쪽,오른쪽 미분해서

x에 1넣은 값이 같음을 이용해서 연립방정식을 풀어서 a,b의 값을 결정짓습니다.

평소 공부할때 저러한 방식이 엄밀하지 못하다고 생각해서

의식적으로 이러한 생각을 해왔습니다.

일단 두 식은 다항함수이므로 미분가능이다.

미분가능성을 물어봤으니 좌극한,우극한을 살펴야 한다.

그런데 x^2과 ax+b는 미분가능이므로 좌극한=우극한=미분계수이므로

1보다 작을때에서의 좌극한값은 그냥 미분계수와 같으므로

x^2 미분하고 1넣고 ax+b미분하고 1넣은것이 같다 라고 풀어도 무방하다고 생각했습니다.

그러므로 좌극한에서의 미분계수와 우극한에서의 미분계수가 같으니까 도함수는 수렴하겠구나라고 생각했었습니다.

그런데 저 프린트를 받고나서 물론 수능에 나올 확률은 거의 0에 수렴하겠지만 나름 논리적으로 공부해왔다고 생각했는데 틀린명제라고 하니 좀 많이 충격이었습니다.

그리고 생각을 많이 해봤는데

구간별함수를

h(x) -f(x) (x

-g(x)(x<=a)라고 하면

여기서 f(x)가 미분가능한 함수이면(다항함수,초월함수..etc)

이것을 의미하게 되고

즉 의미하는 것이

이고

이러한 논리로서 좌극한,우극한이 같다라고 결론짓게 되었고

다시말해 도출된것이

이것이 아니므로 도함수의 극한값의 수렴여부는 알 수 없다라고 보는것이 맞는건가요?

움직이는 값이 같은것이 아닌 고정된 점에서의 값이 같은것이니까요

이러한 논리로서 좌미분계수,우미분계수가 등장하게 되고 그 값이 같을때 미분가능하다라고 할 수 있는것이고요.

맞는지 확인좀 부탁드립니다.^^

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키랄 [488086]

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thdrhwk · 416249 · 15/05/14 12:48 · MS 2012

"기출문제를 풀다보면 많이 볼 수 있는 구간별 함수입니다.
보통 일반적으로는 연속이니까 1대입하고 좌미분계수=우미분계수 이어야하므로 왼쪽,오른쪽 미분해서
x에 1넣은 값이 같음을 이용해서 연립방정식을 풀어서 a,b의 값을 결정짓습니다."

이건 엄밀해요. x에 1넣은 값이 같음을 이용할 수 있는건 두 함수 다 미분가능하고, 도함수거 연속이기 때문이구요.

"그러므로 좌극한에서의 미분계수와 우극한에서의 미분계수가 같으니까 도함수는 수렴하겠구나라고 생각했었습니다."

이건 엄밀하지 않아요. 좌미분계수와 우미분계수가 같다는 것은 도함수의 극한값이 존재한다는 것 밖에 말해주지 않습니다. 꼭 수렴할 필요는 없어요.

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키랄 · 488086 · 15/05/14 13:13

그럼 오늘 깨달은게 맞네요
감사합니다.^^

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JD-L · 290678 · 15/05/14 17:15 · MS 2009

x^2sin(1/x) 이 함수를 미분 할 때 cos 앞에 붙는 x^2과 체인룰에 의해 나온 분수함수를 약분한다는 과정이 x=0 으로 보지 않겠다 , 라는 의미라고 생각해요 저는.. 문자가 아무리 그래봐짜 근본이 숫자니깐.. 그래서 미분된 함수에 x=0 대입하면 오류가 나는 것 아닌ㄴ가요??

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키랄 · 488086 · 15/05/14 17:51

연속함수에요 단지 sin1/x에서 분모에 0을 넣을수없으니까 나눠서 생각한거에요

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JD-L · 290678 · 15/05/14 18:01 · MS 2009

임의대로 x=0에 대해 구할수 있는 극한값과 그에 맞는 함수값을 대응시켜 연속인 조건이 넣어진 새로운 함수를 만드신 거니깐,

x^2sin(1/x) 단순히 이것만 본다면 x=0에서 정의가 안되는 거니 도함수 식에서 x=0 넣으면 안되지 않나요??

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JD-L · 290678 · 15/05/14 18:09 · MS 2009

또한 x=0에서 미분이 불가능, 애시당초 그 점에 대한 함수값이 없으니 미분계수 식을 쓰는 것 또한 안된다고 봅니다.

밑에 좌미분계수 우 미분계수 문제는

그래프가 범위에서 주어진 곳 밖에서는 정의 하지 않기로 했지만 실제로는 점선으로 그린다면 존재하는 것이잖아요.

그런데 저 x^2sin(1/x)는 아예 x=0에서 존재하지 않는 그런 것이니 x=0에서 미분계수를 구할 수 없죠. 단지 평균변화율의 극한값이 0 인 것이구요ㅕ.

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키랄 · 488086 · 15/05/14 19:13

실제로 그래프를 그려보세요
아마 그런식으로 해서하시면 안될듯싶습니다.

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뜅뜅이 · 531839 · 15/05/14 21:10 · MS 2014

미분계수는 도함수의 함숫값입니다. 극한값이 아니죠. x=a에서 미분가능하면 x=a에서 f'(x)의 함숫값이 존재할 뿐이지, f'(x)에서 x=a의 극한값이 존재하는 지를 바로 알려주는 건 아닙니다. 좀 더 생각해봐야할 사항이죠. 여기다가 반례도 존재하니 저 명제는 틀린 명제가 되는 거구요.

예시로 드신 구간별로 정의된 함수에서 x=a에서 미분가능하다고 할 때, 정말로 단순하게 생각하시면 됩니다. 미분가능하다면 미분계수를 정의하는 극한의 값이 존재하는 것이고 극한값이 존재하려면 좌극한과 우극한이 존재하면서 같아야 하는데, 좌극한의 식에 있는 f(x)를 구간별로 정의된 함수에서 x값이 작은 쪽으로 정의된 함수를 대신 넣고, 우극한의 식에 있는 f(x)를 x값이 큰 쪽으로 정의된 함수를 대신 넣으면 됩니다. 그리고 나서 각각 좌극한과 우극한을 구하면 되는데, 이 때 구간별로 있는 각각의 함수는 미분가능하므로 그냥 그 점에서의 각각의 함수의 미분계수가 같다는 식이 나옵니다. 그래서 바로 미분계수가 같다로 풀어도 논리적인 하자가 없는 겁니다.

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키랄 · 488086 · 15/05/14 22:07

위에 올렷듯이 글올리면서이해햇어요!

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