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레바 [383645] · 쪽지

2015-04-18 22:47:27
조회수 8,615

수능 수학, 개념 응용과 문제풀이의 공부 방법 - 2 -

게시글 주소: https://orbi.kr/0005899224

안녕하세요 레바입니다.


저번에 작성했던 글에 이어서,

이번엔 저번에 다루었던 단원과 다른 단원에 대해 언급해보고자 합니다.

이번에 다룰 단원은 무한등비급수 단원입니다.

무한등비급수의 경우 언뜻 보기에는 매우 쉬워 보이는 단원입니다.

수능에 무한등비급수는 도형이 나온 뒤, 도형의 넓이 혹은 둘레나 선분의 길이의

무한등비급수를 구하라는 꼴로 4점짜리 문제가 출제되며,

3점에도 어느 정도 교과서에 있는 무한등비급수에 관한 공식을 활용하여 푸는 문제가

출제되기도 합니다.



대부분의 학생들이 이 부분을 쉬운 부분이라고 생각합니다.

풀이의 방법이 단순하거든요. 초항을 찾고, 공비를 찾은 뒤,

공식에 대입하여 답을 찾아낸다! 이게 끝이거든요.

예전에는 나름 단순한 개형의 도형들이 많이 튀어나와서,

초항에 해당하는 것과 공비에 해당하는 비율을 간단한 도형에 관한 개념으로도 쉽게 찾을 수 있었습니다.

하지만 무한등비급수 문제가 계속 누적됨에 따라

평가원에서는 새로운, 그리고 참신한 도형을 출제하기 시작하게 되었습니다.

15수능의 경우 예외적으로 도형의 무한등비급수를 구하는 문제가 출제되지는 않았지만,

(단순히 무한등비급수의 공식을 이용해서 푸는 3점 문제가 출제되었죠.)

이렇게 무등비가 출제되지 않는 경향이 계속되리란 보장이 없기 때문에,

우리는 이 부분에 대해서도 항상 대비를 해둬야 합니다.



무한등비급수에서 틀리는 경우는 크게 구분하자면 다음과 같습니다.

1. 공비는 쉽게 구했으나 초항을 구하지 못해서

2. 초항은 쉽게 구했으나 공비를 구하지 못해서

3. 넓이비를 구해야 하는데 길이비를 구했거나, 그 반대의 경우

4. S1이 초항이 아니라 사실은 S2가 초항이어서 S2부터 무한등비급수를 적용한 뒤 S1을 따로 더해줘야 하는데, 그냥 S1부터 무한등비급수를 적용하여 답을 구한 경우



이렇게 나눌 수 있습니다.

아마 대부분 첫 번째 이유로 많이 틀리실겁니다.

공비의 경우 그냥 첫 도형과 두 번째 도형의 길이비만 어떻게든 구해내면 넓이비, 길이비 다 나오게 되어 있으니까요.

세 번째의 경우는 단순 실수이므로, 문제를 꼼꼼히 읽고 조건을 알기 쉽도록 체크하는 연습을 하면 해결이 가능합니다.

문제풀 때 집중력을 잃지 않는 선에서 해결 가능한 방법이에요.

네 번째의 경우도, 집중력을 잃지 않고 충분히 해결 가능한 방법입니다.

저 경우는 어떤 문제에서 일어나나면,

첫 도형은 한 개의 사각형인데, 두 번째부터는 두 개의 사각형이 되어서 계속 같은 비율로 줄어드는

그런 도형의 무한등비급수를 구하라! 라는 문제에서 일어나게 됩니다.

그냥 아무 생각없이 첫 번째 도형 넓이 구하고, 공비 구해서 더하면 틀린 답을 구하게 되는거죠.

하지만 이러한 경우도 문제를 꼼꼼히 읽어보고, 문제 상황을 정확히 익힌 다음 풀이로 넘어가게 되면

충분히 커버가 가능하게 됩니다.




그렇다면 결국 초항이나 공비 둘 중 하나를 구하지 못하여 틀리는 경우가 문제인데,

이런 경우를 어떻게 해결해야 하느냐!

저의 경우 도형별로 구하는 방법을 체계화시키는 것을 추천합니다.

즉, 부채꼴의 모양에서 삼각형을 뺀 그런 도형이 나오는 경우,

아니면 사각형과 삼각형의 a:b 내분점을 다시 이어서 같은 과정을 반복하는 도형이 나오는 경우,

부채꼴에 내적하는 사각형이 나오는 경우

이런 식으로요.

특히, 원의 일부, '호'와 이에 내접하는 사각형, 삼각형과 같은 선분으로 이루어진 도형이

복합적으로 나오는 경우가 상당히 까다롭습니다.

이제 문제풀이 예시를 통해 어떤 식으로 공부를 하면 좋을지 알려드리도록 하겠습니다.


다음은 대성모의고사에서 나온 무한등비급수 문제입니다.

딱 보기에도 초항을 구하기 어려워보이는 것이,

저렇게 색칠된 모양의 넓이를 구하는 공식을 고등학교에서는 배우지 않기 때문입니다.

결국 우리가 구할 수 있는 도형의 넓이를 통해 저 도형의 넓이를 알아내야 하는데,

우리가 아는 것은 부채꼴의 넓이 공식, 삼각형의 넓이 공식, 사각형의 넓이 공식 등입니다.

그런데 저 문제는 삼각형과 원이 같이 나온 꼴이죠?

그러므로 이를 통해 자연스럽게 "부채꼴의 넓이에서 삼각형의 넓이를 빼 주면 된다" 라는 생각을 할 수 있어야합니다.

(저런 생각이 자연스럽게 나지 않는다면, 자연스럽게 날 수 있도록 많은 문제를 접해보세요.)

하지만 어느 부채꼴에서 어느 삼각형을 빼줘야 하는 것일 까요?

이를 쉽게 알아보기 위해, 도형에 다음과 같은 "보조선"을 그어주셔야 합니다.


이렇게 보조선을 그려주시면, 부채꼴의 넓이를 어떻게 구해야 할 지 감이 오게 됩니다.

저 원은 정삼각형에 내접하는 원이므로, 반지름이 루트3이고,

저 부채꼴 모양의 넓이는 공식을 이용하면 파이가 됩니다.

그리고 삼각형의 넓이도 1/2(sinA)bc 와 같은 공식을 이용하여 쉽게 구하실 수 있습니다.

공비의 경우, 첫 번째 삼각형의 높이가 3루트3이고,

두 번째 삼각형의 높이는 원의 지름, 즉 2루트3이기 때문에

길이비는 3:2, 넓이비는 9:4라는 것을 통해 쉽게 알 수 있습니다.





이런 식으로, 기출문제와 사설문제를 다루면서 "보조선"을 어떻게 그어야 할지,

그리고 초항과 공비를 어떤 식으로 구해야 할지 체계적인 계획을 세워야 합니다.

기존에 있는 문제의 풀이만 잔뜩 익히는 것은 "뒷북 수학"에 지나지 않습니다.

저도 기존의 무한등비급수 문제의 풀이는 얼마든지 해줄 수 있고,

다른 멘토분들이나 강사분들도 충분히 해줄 수 있습니다.

하지만 그런 풀이를 다 안다고 해서 수능에 나온 문제를 맞출 수 있다는 보장은 없습니다.

이런 문제를 풀어보면서 익혀야 하는 것은

"새로운 문제가 나왔을 때 어떤 식으로 문제 풀이를 전개해 나가야 하느냐?",

"새로운 도형이 나오면 보조선을 어떤 식으로 그어야 하며, 어떤 것에 낚이지 말아야 하느냐?"

와 같은 것들입니다.

기존 문제들을 풀면서 문제풀이 방식을 익히는 것도 중요하지만,

그런 도형의 넓이를 구해보면서 어떤 발상을 했는지,

어떤 식으로 접근했는지 그 아이디어를 떠올리는 과정에 익숙해지셔야 합니다.

그래야 본격적으로 실력이 느는 공부를 할 수 있게 되는 것입니다.









제가 말씀드리는 방법이나 내용이 항상 옳다는 보장은 없습니다.

사람에게는 누구나 서로 다른 최적화된 공부 방법이 존재하며,

그것은 각자의 특성에 따라 다르기 때문에

서로에 대해 자세히 알 수 없는 온라인이라는 공간에서는

각자에게 맞는 최선의 공부 방법을 알려드릴 방법이 없어요.

단지, 이런 식으로 공부하면 더 효율적인 방법을 찾을 수 있다! 라는 지표를 알려주는 것이 한계라고 생각합니다.

따라서 제 글은 그냥 참고용으로만 하셨으면 하는 바람입니다.

저보다 더 좋은 멘토의 글이 있다면 그 글의 내용을 따라가셔도 좋고,

전부 다 마음에 안든다면 자신만의 방법을 개척해도 좋습니다.

결국 공부는 본인이 하는 것이니까요.



그럼 모두 효율적으로, 그리고 능동적으로 공부를 하기 바라며 이만 글을 마치겠습니다.

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레바 [383645]

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