신승범 고쟁이 질문 좀 받아주세요

Question

g'(x) 의 최소가 2인걸로
f'(x) 의 최대가 1/2 인 이유가 뭐죠?

부등호만 없으면 그것까지는 되는데.....
합성함수 미분으로 증명되는데...

부등호 바뀌는과정
증명 하실수 있는분 계신가요?

오라고오라고 · Accepted Answer

F랑 g'x랑 역수 관계비슷해서그런거같은데요

자도 · Answer

fx를 미분해보면 a>2이므로 x>0일때, fx는 항상 증가하는 함수임을 알수 있고

생각해보면 gx또한 항상 증가하는 함수임도 알수있습니다

fx의 임의의점 (x1,y1)에대해 대응 하는 gx위의 점(y1,x1)가 존재합니다

f(x)의 점 (x1.y1)에서의 기울기는 g(x)의 점(y1,x1)의 기울기의 역수이므로

f(x)의 기울기가 증가할수록 y=x 대칭 한점에서의 g(x)의 기울기는 감소하고 fx의 기울기가 감소할수록 gx의 기울기는 증가합니다 (역수니까요)

따라서 g(x)의 기울기가 최소일때 f(x)의 기울기는 그점에서 y=x의 대칭한점에서의 기울기이므로

그때 최대입니다

설명한다는게 쉬운게아니네요 이해되셨는지 모르겠네요

재수로연대기계 · Answer

교과서에 있는 역함수의 미분법 정의보시면 알 수 있습니다. dy/dx=1/(dx/dy)를 증명하는 것이 있습니다. 괄호 편의상 범분수 표시하려고 쓴거에요.
근데 역함수라는 것은 결국 y=x대칭이라는 말이 축이 즉 정의역과 치역의 역할이 바뀌는거잖아요 따라서 역함수의 변화율은 원함수 x y를 그대로 썼을 때 dx/dy인거죠 y축이 x축화 x축이 y축화 된 것이니까요. 근데 아까말씀드린 dy/dx=1/(dx/dy)를 이용하면 dx/dy= 1/(dy/dx)즉 원함수 미분의 역수 임을 알 수 있습니다. 사실 직관적으로는 그래프 그려서 확인해도 알 수 있죠.
따라서 g'x<=2이므로 이를 역수취하면 f'x>=1/2임을 알 수 있습니다 ㅎㅎ

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