님들 개념집 하다가 궁금한거 생겼는데 좀 봐주시면 감사
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고등수학 (하) 개념 센
역함수의성질 파트인데
개념 체크 문제로
함수 f(x)=2x2+1(x>0) 에대해 (f-1)-1(1)+(f-1o f)(2) 의 값은?
근데 이게 그냥 아무생각없이 풀면 f역함수의역함수는 f니까 f(1)=3
f역함수 합성 f는 x에대한 항등함수니까 =2
따라서 값은 5 이렇게 풀수있는데 뭔가 이상해서 봤더니 f의 역함수가 정의되려면 f가 일대일 대응이어야 가능한데
f(x)의 그래프는 공역이 모든실수고 치역이 1또는 그이상인데
그러면 공역과 치역이 다르므로 일단 일대일 대응이 아니고
f-1는 정의역의 모든 x값이 대응 하지않으므로 함수가 아닌 대응아닙니까?
그러면 f의 역함수는 함수가 아니므로 역함수로서 정의 되지 못하는데 어떻게 이문제를 풀어야하죠?
혹시나 문제 오류인가여?
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x가 1보다크다는조건때문아닐까요
x가 1보다크다는조건때문아닐까요
개념서 앞에 함수정의쪽에보면 정의역과공역은 문제에서 제시한경우가아니면 정의역은 함수식이 정의되는 모든 x값이고 공역은 모든실수라고 나와있는데 이문제는 따로 공역을 제시한것도 아니고 x가 0보다 크거나 같다라는거에서 유추할수있는건 치역이 1보다 크거나 같다 밖에 안나오는거 같은거같습니다.. 공역에 관해선 더이상 알수있는게 없으므로 공역은 모든실수라고 보여지는데 제가 잘못짚었나요?
제시한경우가 아니면에서 x는0보다크다라는 정의역을 주엇고 그에따라 함수표현시 1대1대응이라고 생각됩니다
답변하신 첫줄에 정의역을 문제에서 제공한경우에 해당하는문제라는 결론입니다
그러면 f역함수는 정의역이 1이상의 모든실수인가요
어 제가 볼때는요,,,
일단 함수가 e^x라면 어떻게 하실건가요?
e^x의 치역은 전체실수가 아닌 0보다큰 실수인데 버젓이 역함수인 lnx있지 않나요?
일반적으로 역함수가 일대일함수가아니라 일대일 대응이어야만 역함수가 존재하는이유는 간단한 이유를들자면
정의역이 1,2,3 이고 공역이 1,2,3,4일떄 1->1 2->2 3->3이라고 하면 역함수에서는 정의역으로들어간 4가 함숫값이 정의되지 않아서입니다
하지만 e^x처럼 이문제는 존재합니다
왜그러냐고요? e^x는 역함수를 구할떄 정의역을 실수전체 하지만 치역을 0보다큰 모든실수로 봅니다
따라서 역함수는 정의역이 0보다 큰 모든실수 그리고 치역이 실수전체가 되는군요
그럼 따라서 이 문제는 정의역을 0보다 같거나 큰 실수전체라 봤으므로 치역은 1보다 같거나 큰 실수전체입니다
거꾸로 역함수의 정의역은 1보다 같거나 큰 실수전체 그리고 치역은 0보다 같거나 큰 실수전체입니다
따라서 f(x)=2x2+1(x>0)의 역함수는 문제가 제시한대로 따르자면 x가 1보다 같거나 클때만 역함수가 정의됩니다
문제도 그것만 물어봤구요...
그냥 이렇게 생각해봅니다..
그러니 요약하자면 정의역이 제한되었으니..그곳에서 생각해야한다는것이죠
그냥 간단한 문제이니 앞전제들을 다잘라버려셔 그런듯합니다...