2022학년도 고3 7월 수학 22번 'long'cut (ft. 다항함수에서의 매클로린 급수)

Question

의도치 않게 제목 그대로 'long'cut 풀이를 작성한 듯해서 공유합니다 ㅋㅋㅋ 문제 자체는 제 개인이 느끼기에 평가원에서 출제할 법한 느낌은 아닌 case 분류와 case 분류와 case 분류로 이루어진 그래프 개형 추론, 계수 결정 문제입니다. 다양한 shortcut 해설은 각자의 선생님, 유튜브 등을 참고하시면 좋을 것 같고 (물론 3개월 전 시험지라 이미 다 피드백이 끝나셨을테지만) '아 현장에서 운이 정말 좋지 않으면 이렇게까지 꼬일 수 있겠구나...'라는 마음에서 미리 독한 훈련을 한다는 느낌으로 읽어주시면 감사할 것 같습니다!

pdf 구성은 이러합니다.

1페이지: 문제 요약

2, 3페이지: 'long'cut 해설

4페이지: 다항함수에서의 매클로린 급수

다시 한 번 말씀드리지만 '아 현장에서 운이 정말 좋지 않으면 이렇게까지 꼬일 수 있겠구나...'라는 마음에서 미리 독한 훈련을 한다는 느낌으로 읽어주시면 감사할 것 같습니다!

사실은 4페이지 부분을 쓰고싶어서 해설을 쓰기 시작한 문제였는데 다 풀고 뭐 이리 길지 싶어 유튜브 영상 하나 찾아보니 정말 고려할 필요 없어보이는 것까지 다 고려하며 너무 원칙적으로 풀었던 것 같더라구요 ㅋㅋㅋㅠ 수능에 올인하는 태도를 벗어난 지 약 11개월이 된 시점에서 문제를 차분하게 살펴보는 능력이나 귀찮은 부분들을 직접 해결하려는 능력은 늘었지만 정답일 것 같은 case를 탁 찍어내는 등 본능적인 직관을 활용하는 능력은 확연히 줄어들었다는 생각을 할 수 있었습니다.

4페이지는 별 건 아니고 수2에서 학습하는 평균값 정리에서 선형대수에서 학습하는 테일러 정리, 테일러 급수, 매클로린 급수에 관한 간략한 설명과 함께 삼차함수에 있어 매클로린 급수를 적용한 꼴을 보여드리는 과정입니다. 문제를 보시면 아시겠지만 f(x)=ax^3+bx^2+cx+d로 설정할 때 g(x)=cx이기 때문에 y=f'(0)*(x-0)+f(0)이 y=cx+d라는 걸 의식적으로 느낀다면 조금 더 친숙함과 함께 문제를 풀어갈 수 있을 거라는 생각에 정리해보고 싶었습니다. 여담이지만 제 고등학교 2학년 때 연세대 수학과 졸업하신 선생님께서 '다항함수에서의 테일러 전개'라는 이름으로 알려주셨던 부분을 이제서야 직접 '평균값 정리 -> 테일러 정리 -> 테일러 급수 -> 매클로린 급수 -> 다항함수에서의 매클로린 급수'의 순서로 증명해 받아들인 것 같아서 정리를 마친 후 기분이 좋았네요 ㅎㅎ

+풀이에서 서로 다른 형태의 식을 g(x)=ax 꼴임을 활용해 정리하는 과정에서 '삼차함수의 근과 계수의 관계'로 설명하는 분들이 있는 것 같습니다. 작년 3월인가 4월 고3 교육청 모의고사 미적분 30번 수열의 극한 문제에서도 '삼차함수의 근과 계수의 관계'를 활용해 풀이를 작성할 수 있었는데 평가원 시험에서는 몰라도 교육청 시험에서는 알아두면 쓸모 있는 내용 같습니다. 물론 평가원에서도 언제 중요하게 출제될지 모르니 수학(상) 내용들은 잘 정리해둘 필요가 있겠지만요!

+매클로린 급수라는 워딩 없이도 삼차함수 y=ax^3+bx^2+cx+d에 대해 dy/dxㅣx=0 = c, d^2y/dx^2ㅣx=0 / 2 = b 등을 직접 유도해볼 수 있습니다! 함수 y=f(x)의 양변을 x에 대해 미분한 것이 dy/dx=f'(x), 한 번 더 미분한 것이 d^2y/dx^2=f''(x)라는 점만 생각해보면 말이죠.

책참 · Accepted Answer

피드백이나 질문은 즐겁게 받겠습니다, 편하게 남겨주시면 감사하겠습니다! 참고로 제가 풀이에 사용한 (제가 느끼는) 필연적 발상은 다음과 같습니다.

1. 절댓값 -> 안이 0이 될 때를 기준으로 case 분류
2. 둘 이상의 경우의 수 중 어느 것일지 모를 때 -> 하나씩 case 분류
3. 부호만 판단하면 될 때 -> 식 계산 다 하려하지 말기

+ 2가지 상황에 대해 한 상황을 가정해 그것이 모순임을 보이고 다른 상황이 참임을 보이는 귀류법과 비슷한 느낌은 2가지 상황 각각에 대한 case 분류를 진행해 하나씩 따져보는 것과 같다는 점에서 '둘 중 적어도 하나는 참인 2가지 상황에 대한 case 분류는 귀류법과 본질적으로 같다'라고 말할 수 있을 것 같다는 생각도 듭니다. 물론 이 문제처럼 단순한 그래프 개형 결정 정도에서 말이죠? 완전히 일반화할 수는 없을 것 같은데 추가적인 생각은 제가 수학과 복수전공에 성공한 후에야 해볼 수 있지 않을까 싶네요

치킨마크니 · Answer

대학수학을 배우면 수험생들이 푸는 킬러 문제도 새롭게 접근할 수 있겠군요!

일반고2학년 · Answer

정말 longcut이네요... 어려워요 ㅠㅠ

연천간절하다 · Answer

첫번째 시도하셨을때 나온 풀이인가요?

2022학년도 고3 7월 수학 22번 'long'cut (ft. 다항함수에서의 매클로린 급수)

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