22예시21을 풀어보자
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주어진 그림에서 점 C를 지나면서, 선분 AC에 수직인 직선이 두 원과 만나는 점들 중 점 C가 아닌 점을 B, D라고 합시다. 이 문제를 풀 땐 점 B, D의 위치를 그림과 같이 변경해서 풀겠습니다.
이 경우, 두 삼각형 ACB, ACD는 모두 직각삼각형이고, 이때 두 선분 AB, AD는 원의 지름입니다.
선분 AB의 길이는 선분 AO의 길이의 2배이고, 선분 AD의 길이는 선분 AO'의 길이의 2배입니다. 그림에서 두 삼각형 AOO', ABD는 닮음입니다. 이때 선분 BD의 길이는 선분 OO'의 길이의 2배인 2가 됩니다.
sin베타/sin알파=3/2라는 조건은, 예를 들어 sin베타가 0.6이라면 sin알파가 0.4라는 뜻입니다.
두 원의 지름인 선분 AB, AD의 길이는 각각 AC/sin알파, AC/sin베타로 구할 수 있습니다.
sin알파:sin베타=2:3인데 두 선분 AB, AD의 길이 비에서는 분모에 있기 때문에 거꾸로 3:2가 됩니다. 두 선분 AB, AD의 길이를 각각 3k, 2k라고 합시다.
cos(알파+베타)=1/3이라고 했는데, 그림에서 각 BAD는 180도에서 (알파+베타)를 뺐기 때문에 이 각의 코사인값은 -1/3이 됩니다.
선분 BD 길이는 위에서 2로 구했으니, 각 A에 대하여, 삼각형 ABD에 코사인법칙을 적용합시다.
삼각형 ABC의 외점원의 반지름의 길이는 3k/2이기 때문에, 삼각형 ABC의 외접원의 넓이는
즉, p+q=26입니다.
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