220612를 풀어보자
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이 문제는 풀이 방법이 여러 가지가 있습니다.
우선, 코사인법칙을 사용하여 선분 BC의 길이를 구하면, 6이 나옵니다.(계산 과정 생략)
그리고 삼각형 ABD는 이등변삼각형이기 때문에 선분 BD의 길이는 4입니다.
각 A에서의 코사인값을 이용하면 선분 AD의 길이를 구할 수 있습니다.
삼각형 ABD가 이등변삼각형이므로 선분 AD의 길이는...
이 나옵니다. 이때 선분 DC의 길이는 4입니다.
여기서 푸는 방법이 갈리게 되는데, 닮음을 이용하여 푸는 방법이 있습니다.
주어진 그림에서 닮은 삼각형은 ABC, EDB입니다.
두 각 BAC, DEB의 크기가 서로 같고, 삼각형 BCD가 이등변삼각형이므로 두 각 ACB, EBD의 크기가 서로 동일합니다.
선분 DE의 길이를 x라고 하면 6:4=4:x가 성립하고, x=8/3입니다.
제가 현장에서 풀 때 사용한 방법을 설명해 드릴게요.
삼각형 DBC는 이등변삼각형이고, 점 D에서 선분 BC에 내린 수선의 발을 H라고 하면 점 H는 선분 BC의 중점입니다. 이때 선분 BH의 길이는 3이고, 피타고라스 정리에 의하여 선분 DH의 길이는 루트 7이 나오죠.
직각삼각형 DHE에서 각 DEH의 코사인값이 나와 있기 때문에 선분 DE의 길이를 x라고 하면 위의 그림과 같이 나옵니다.
x의 값을 구해 보겠습니다.
즉, x=8/3입니다.
다른 방법도 있습니다. 우선 그림에서 세 각 ADB, BDE, EDC의 크기를 모두 더하면 180도입니다.
그리고 삼각형의 세 내각의 합도 180도이기 때문에 세 각 DBE, BED, EDB의 크기를 모두 더해도 180도입니다.
위에서 제시한 각들 가운데, 각 BDE가 겹치고, 두 각 ADB, BED의 크기가 같기 때문에 두 각 DBE, EDC의 크기가 같게 됩니다. 이때 삼각형 DEC는 이등변삼각형입니다.
해당 삼각형은 삼각형 CDB와 닮음이기 때문에 역시 비례식을 세워서 풀 수 있습니다. 4:6=x:4에서 역시 x=8/3이 나옵니다.
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두번째 풀이 좋네요!
이 문제 풀이는 되게 다양하네요
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