칼럼)미분방정식을 이용해서 함수를 쉽게 구해보자.
게시글 주소: https://orbi.kr/00056643608
맨날 여기서 공대오지마라 의치한가라같은 뻘글하고 떡밥글만
쓴 사람이지만 이번에는 그래도 지금까지 내가 썼던 글 중에서
어쩌면 가장 유용한 글을 써보고자 합니다.
우선 이 글을 쓰기 전에 미분방정식 관련 좋은 칼럼이 있어서
링크 첨부합니다.
지금 쓰는 칼럼같은 경우
내용이 매우 어려울 수 있으므로 깊은 이해보다는 이런게 있다라는 수단의
수준으로만 설명하고자 합니다. 또한 이 방법은 최후의 수단이며
고등 교과 수준으로 풀어내는 것이 가장 중요합니다.
아래와 같은 미분방정식이 있습니다. 이는 연세대학교 미래캠퍼스
2022년 논술문제에서 따왔습니다.
이것을 한번 풀어보죠.
이렇게 정리하고 양변 동시에 적분한다면
이라는 결과가 나오네요. 그리고 f(0)=1/2라는 경계조건이 있으므로 C=1/2이네요.
이 되네요.
근데 이거 갑자기 못떠오를 수도 있잖아요? 그럴때는 어떻게 풀어야 할까요?
그럴 경우에 도움이 되는 방법이 있습니다.
우선 이 방정식을 봅시다.
이 방정식 푸는 법은 다들 아실 겁니다. 저 링크를 타도 푸는 방법이 나옵니다만 알려드리자면
와 같이 정리될 것이고 여기서 양변을 적분해 줍시다. 적분상수에 유의합시다. 매우 중요합니다.
와 같이 정리가 되네요. e의 C제곱을 간단하게 A라고 나타냈습니다.
일단 주어진 방정식을 풀기 위한 첫 번째 과정이 끝났습니다.
그런데 이거 구해서 뭣에다가 써먹냐고요?
나중에 다시 설명해 드리겠으니 계속 따라와 주시면 되겠습니다.
이젠 아래 방정식을 다시 한 번 살펴봅시다.
여기서 f(x)가 삼각함수와 지수함수의 곱의 꼴로 이루어져 있어야
대입하고 정리해볼 때 우변처럼 나올 수 있다는 생각을 한번 해봅시다.
이것을 미정계수법이라고 하는데 사실 엄밀하다기 보다는 매우 직관적인 방법입니다.
위의 말을 간단하게 수식으로 표현해 보았습니다.
이제는 이 f(x)를 직접 대입해서 항등식을 세워 봅시다.
이런 항등식이 나오게 된다는 것을 직접 대입함으로써 확인할 수 있습니다.
여기서 이젠 a와 b의 값을 구하게 된다면 각각 1, 0이 나올 것입니다.
그러면 이젠 f(x)가 나오겠죠.
f(x)를 구했더니 저런 꼴이 나오네요. 저걸 다시 방정식에다가 대입해 봤을때 좌변과 우변이 서로
같아질 것입니다.
그렇다면 우리는 이 방정식을 풀었다고 할 수 있을까요?
답은 그렇지 않습니다. 왜냐하면 이렇게 구한 저 f(x)가 저 방정식의 유일한 해라고 단정할 수가 없기 때문입니다.
그러면 우리는 저 방정식의 해를 어떻게 표현해야 할까요?
맨 처음에 풀었던 방정식이 이에 대해서 놀라운 정답을 제공합니다.
이 방정식을 다시 한번 보시죠. 주어진 미분방정식에다가 대입해 봅시다. 그러면 좌변이 0이 될 것입니다.
그렇기에 Ae^x라는 항은 추가를 하더라도 방정식의 결과에 아무런 영향을 주지 않겠네요. 이러한 것을 우리는
'일반해' 라고 하기로 하였습니다.
그러면 f(x)를 이렇게 표현해도 방정식을 만족하겠네요.
이 f(x)가 위 방정식의 최종 해가 되는 것입니다.
그러면 이제는 상수 A를 구할 차례입니다. 이 문제에서는 f(0)=1/2라는 조건이 있었네요.
이를 대입 시 A=1/2가 될 것입니다.
하지만 이러한 방법에는 한계점이 존재합니다.
이렇게 f'(x)나 f(x)에 제곱같은 것이 붙어있을 때에는 쓸 수가 없고
처럼 상수계수가 붙어있는 경우에만 사용할 수 있다는 것입니다.
마지막으로 이 방법은 최후의 방법이기에 당연히 고교 수준으로 푸는 것이 가장 중요하다는 말을
끝으로 떠납니다.
맺는말) 공대오지마라 의치한가라
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
똥먹기 9
미소녀 똥 우걱우걱
-
과목 다 첫날 테스트치고 드가네올만에 수학잡으니 쌉꿀잼 ㄹㅇ
-
며칠전에 정형외과 가서 MRI 찍은거 결과 나왔습니다 발목 앞쪽 인대가 끊어졌대요
-
두 번 받아 먹었다 너무 맛있잖아!
-
[속보]트럼프 “한국, 군사 지원 받는데 평균 관세 4배 높아” 2
트럼프 "美에 관세 매기는 국가, 관세로 대응"
-
어케 17살이 데뷔때부터 저렇게 완성형이지
-
난 당연히 누구나 필요한 부분 다 줄칠거라고 생각했는데 우리형 5급피셋 직렬수석인데...
-
누구있나요? 메가말고 딴곳에도 있나요?
-
하는건 무슨 경우인가요 신입생입니다
-
확통 선택 안한게 신의 한수였다 08분들 3학년 때 수학 선택 하지 말아보셈뇨 이거 개꿀임
-
-
퀄리티 후기 좀
-
24시간 지났는데
-
레이팅 1000찍엇다 23
오프닝 엔딩 다 한나도 모르는채로 천점 달성!
-
밥먹기 귀찮다 10
으악
-
아 ㅅㅂ 4
커피를 쏟았지만 책에 커피향이 배었잖아? 공짜 향수 이거 존나 럭키빗치잖아
-
현실적조언좀 6
수학 3>1 3달만에 ㄱㄴ? 수학만한다는 가정
-
현 고3 자퇴시 26수능 응시 가능 여부가 궁금합니다.
-
맛있겠지? 0
많이먹었더니 느끼함 오늘제사임뇨 증조할아버지인가 얼굴이나 성함도 모르는 할아버지임뇨
-
인강에 대해 아는건 없는데 그냥 문제 풀이 해주는거 아님?
-
기출 풀 때 마다 4등급이 나오는데 어떤 문제집을 풀어야할까요? 지금 이미지쌤...
-
개지린다 ㅋㅋㅋ 얼마나 좋은거임
-
-
유전만 못하는데 유전 인강 빠르게듣는거 추천점 대상메가 둘다있
-
내가 질문할 데가 없누…
-
마라탕 ㅇㅈ 4
-
* 자세한 문의는 아래의 링크를 통해 연락 바랍니다....
-
외로워요 2
ㅠㅠ
-
[속보] 트럼프 “韓·日 등 알래스카 LNG 사업에 수조 달러 투자할 것” 1
백악관, 의회 연설 발언 사전 공개 도널드 트럼프 미국 대통령은 4일 의회 상·하원...
-
이번 겨울 방학을 마치며 김광진 선생님의 수업에 대해 리뷰를 남겨보고자 한다 원래...
-
이번달부터 7급 공무원과 동급으로 묶임 역시 결혼정보회사가 정보력이 빠르다
-
심찬우 커리 따라가면 풀 지문 자체가 너무 부족하지 않나요? 1
생글 부교재랑 주교재 완강했는데 생감할 때 까지 독서는 풀게없어요 나중에 기출...
-
아직 의대는 4
과탐 하는게 정배죠?
-
과외랑 알바 엄청 해도 시간이 많이 남는데… 뭐하고 살아야할지 모르겠네용
-
떼잉.. 나때는...!!
-
올해 첫 등교중 1
-
A가 현재 다니고있는 스카이고, B는 집주변 여러 스카인데,거리때문에 고민이 되어서...
-
시대 기출 0
중간에 합류해도 주네요 ㅎ
-
헤헤 ㅌㅈㅇㄹ 9
오르비언분이랑 인스타 맞팔함 히히 누군진 비밀
-
국어 4등급 4
작수 4등급인데 일단 푸는 방식은 언매 독서 문학입니다 근데 문학 현대시 파트에서...
-
과외생이 항공대 항공운항학과 지망인데 과탐이 3~4등급 이하라서 사탐런 하는게...
-
졸업 고등학교 쓰라는데 이거 어케 함뇨? 검1고랑 관련된 단어 다 쳐봐도 안 나오는데
-
감기 옮음 2
동생한테 감기 옮아서 마스크 쓰고 다녀야 될 듯
-
김범준 2타 3
ㄷㄷㄷㄷㄷ 시작부터 막기
-
아미친 7
자살
-
우리의 배쌤은 5타가 되고………배쌤힘내세요
-
수학 시대인재 라이브 강기원 10주차때 들어갈건데 걍 인강 계속 하는게나음? 13
전영상들은 사서 들을 거임 휴강때
-
강의좀 올려라~~
-
학원 안다니고 독재 하셨던 분들은 모의고사 연습 어케하셨나요 6,9월 두번만...
-
나는 진자 애국할수잇는데 상대가 없네...
아 뭐야 비켜 !
미분방정식 관련 글 예전에 누가 올리셨는데링크보시면됩니다.
감사합니다엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요!
즐거운 함수방정식의 세계로 떠나요
요약)dy/dx를 분수 취급하면 정신건강에 이롭다
수포자라서 모르겟다..
의치한 가지마라 무조건 스카이 가라
이 글을 보고 미적분으로 선택했습니다.
이 글을 보고 확통을 선택했습니다
1/y 적분하면 ln|y| 아닌가요?
절댓값
그러네여 ㅎㅎ 죄송합니다
TMI)
고등과정에선 절댓값을 붙이지만....
복소해석학의 관점에서 계산을 하면 상관없습니다.
약간의 오일러 공식과 함께 계산을 곁들이면
고등과정에서의 case를 나눈 결과과 같아집니다.
대략) y=Ae^x에서 A가 양수뿐만 아닌 실수인 이유라고 생각하시면 됩니다.
ptsd...ㅋㅋㅋㅋㅋ 잊고살았던 공수의 기억
공학수학의 향기가 느껴지는 글이네요
미방 에쁠받아서 좋았는데 이제 다른데 가면 날아갈성적 ㅅ;
대학입시에서 이런 스킬들은 잡스킬. 딱 그정도.