칼럼)미분방정식을 이용해서 함수를 쉽게 구해보자.
게시글 주소: https://orbi.kr/00056643608
맨날 여기서 공대오지마라 의치한가라같은 뻘글하고 떡밥글만
쓴 사람이지만 이번에는 그래도 지금까지 내가 썼던 글 중에서
어쩌면 가장 유용한 글을 써보고자 합니다.
우선 이 글을 쓰기 전에 미분방정식 관련 좋은 칼럼이 있어서
링크 첨부합니다.
지금 쓰는 칼럼같은 경우
내용이 매우 어려울 수 있으므로 깊은 이해보다는 이런게 있다라는 수단의
수준으로만 설명하고자 합니다. 또한 이 방법은 최후의 수단이며
고등 교과 수준으로 풀어내는 것이 가장 중요합니다.
아래와 같은 미분방정식이 있습니다. 이는 연세대학교 미래캠퍼스
2022년 논술문제에서 따왔습니다.
이것을 한번 풀어보죠.
이렇게 정리하고 양변 동시에 적분한다면
이라는 결과가 나오네요. 그리고 f(0)=1/2라는 경계조건이 있으므로 C=1/2이네요.
이 되네요.
근데 이거 갑자기 못떠오를 수도 있잖아요? 그럴때는 어떻게 풀어야 할까요?
그럴 경우에 도움이 되는 방법이 있습니다.
우선 이 방정식을 봅시다.
이 방정식 푸는 법은 다들 아실 겁니다. 저 링크를 타도 푸는 방법이 나옵니다만 알려드리자면
와 같이 정리될 것이고 여기서 양변을 적분해 줍시다. 적분상수에 유의합시다. 매우 중요합니다.
와 같이 정리가 되네요. e의 C제곱을 간단하게 A라고 나타냈습니다.
일단 주어진 방정식을 풀기 위한 첫 번째 과정이 끝났습니다.
그런데 이거 구해서 뭣에다가 써먹냐고요?
나중에 다시 설명해 드리겠으니 계속 따라와 주시면 되겠습니다.
이젠 아래 방정식을 다시 한 번 살펴봅시다.
여기서 f(x)가 삼각함수와 지수함수의 곱의 꼴로 이루어져 있어야
대입하고 정리해볼 때 우변처럼 나올 수 있다는 생각을 한번 해봅시다.
이것을 미정계수법이라고 하는데 사실 엄밀하다기 보다는 매우 직관적인 방법입니다.
위의 말을 간단하게 수식으로 표현해 보았습니다.
이제는 이 f(x)를 직접 대입해서 항등식을 세워 봅시다.
이런 항등식이 나오게 된다는 것을 직접 대입함으로써 확인할 수 있습니다.
여기서 이젠 a와 b의 값을 구하게 된다면 각각 1, 0이 나올 것입니다.
그러면 이젠 f(x)가 나오겠죠.
f(x)를 구했더니 저런 꼴이 나오네요. 저걸 다시 방정식에다가 대입해 봤을때 좌변과 우변이 서로
같아질 것입니다.
그렇다면 우리는 이 방정식을 풀었다고 할 수 있을까요?
답은 그렇지 않습니다. 왜냐하면 이렇게 구한 저 f(x)가 저 방정식의 유일한 해라고 단정할 수가 없기 때문입니다.
그러면 우리는 저 방정식의 해를 어떻게 표현해야 할까요?
맨 처음에 풀었던 방정식이 이에 대해서 놀라운 정답을 제공합니다.
이 방정식을 다시 한번 보시죠. 주어진 미분방정식에다가 대입해 봅시다. 그러면 좌변이 0이 될 것입니다.
그렇기에 Ae^x라는 항은 추가를 하더라도 방정식의 결과에 아무런 영향을 주지 않겠네요. 이러한 것을 우리는
'일반해' 라고 하기로 하였습니다.
그러면 f(x)를 이렇게 표현해도 방정식을 만족하겠네요.
이 f(x)가 위 방정식의 최종 해가 되는 것입니다.
그러면 이제는 상수 A를 구할 차례입니다. 이 문제에서는 f(0)=1/2라는 조건이 있었네요.
이를 대입 시 A=1/2가 될 것입니다.
하지만 이러한 방법에는 한계점이 존재합니다.
이렇게 f'(x)나 f(x)에 제곱같은 것이 붙어있을 때에는 쓸 수가 없고
처럼 상수계수가 붙어있는 경우에만 사용할 수 있다는 것입니다.
마지막으로 이 방법은 최후의 방법이기에 당연히 고교 수준으로 푸는 것이 가장 중요하다는 말을
끝으로 떠납니다.
맺는말) 공대오지마라 의치한가라
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
이번 9모 확통 80나왔는데 드릴은 많이 어렵데서 혹시 다른 n제가 나을까요?...
-
국어 시험을 못 봤지만 멘탈이 안 흔들리고 끝까지 공부 마무리할 수 있게 해주셔서...
-
너무 실모만 풀었어 근본으로 ㅋㅋ
-
오늘부터 공부한 내용or시간 간단하게 오르비에 정리해서 글 올릴려고 합니다 현재까지...
-
응애
-
모두까기인형 8
근데 드레이븐?이 문제에요 이 와중에 진짜 예 타워? 안쪽 그래도 잭키러브?가...
-
머머잇음
-
오늘 빡공 함 0
후하하
-
이건 책을 복습해야함 아니면 실모를 풀어제껴야함? 아예 몰라서 못푼다기보다...
-
N제 순서 2
샤인미/설맞이/4규s2 난이도는 다들 다르게 말씀하시는 거 같은데... 올해거...
-
진짜 모집정지 된다고 한들 저정도까지 영향이 가겠나...개소리를 정성스레 적어놨네
-
서울캠에 정디플만 공대임? 너무 비효율적이지 않나
-
미적 엔제 하나도 안풀음 ㅁㅊ것… 엔티켓이랑 4코시즌1 생각중인데 뭐 먼저 풀까요
-
2330 맛잇네 2
ㄹㅇ 김성은은 신의 아들이다 불꽃n제 불찍파도 딱 기다려:)
-
하루에 한지 100문제라... 이기상과 한몸이 되는중
-
난이도 어느정도지..
-
ㅇㅇ
-
검정고시생이라 점공이 아예 안되는데 같은 곳 넣은 사람들 성적 대충 어느정도인지...
-
3등급인데 수리논술 제대로 해본적 없는데 파이널 수업 듣는게 나을까여 아님 기출이랑...
-
강k 사문 2회 2
20번 너무 어렵…
-
국어는 수능장 가봐야 아는거 알지만 진짜 고정1이라 자신있습니다 수학은 60점대...
-
슬슬 친구들 인스타에 연고전관련 스토리 올라오는데.. 7
볼때마다 작수 국어시간이 너무 후회스럽네 선택과목 마킹만 했다면 나도 저기서 같이...
-
조언 부탁드려요 3
•영어 1~2 목표 23수능 1 8덮, 9모 2 불안정, 진짜 가끔은 3도...
-
질문 성의없는거 아는데 ㄹㅇ 뭘해야될지모르겠ㅇ.ㅁ
-
맞팔구 6
은테가 101명부터였네;;
-
불행할 사람은 뭘해도 불행할듯 삶에선 마인드가 가장 중요한듯함요
-
의대 수시 0
의대 수시런데 저희학교가 과중이거든여? 그래서 R&E 하게되는데 재활의학쪽으로...
-
Ps 대체 왜 잼민 친구 둘은 이 시간까지 독서실에서 겜을 하고 있는가..
-
개인적으로 느끼는 약술형고사 악질 2문제(국어 1문제, 수학 1문제) 2
2022학년도 가천대학교 자연 시간 없어 죽겠는데 계산만 주구장창 2023학년도...
-
화2 어나클 2
화2러입니당 어나클 사놓고 좀 보다가 안 보고 있는데 보면서 얻어갈 게 많은가요?...
-
내가 한 행동에 대해선 책임질께 내가 책임지고 살아가면 돼
-
32수능 만점자 질받 34
아무거나 ㄱㄱ
-
전신 거울에 대고 뽀뽀해봐요 자기애 듬뿍듬뿍 주입 가능 실제로 애용합니다
-
은 무슨 내일 스러너 풀 생각에 잠이 안오네
-
나도 질받메타 탑승! 19
ㄱㅂㅈㄱ
-
에에
-
고환 컷 7
고려대 환경생태공학부 컷 궁금합니다
-
질문 받음 6
클났음 그불구 듣고 총정리 과제도 해야댐 알바갈걸 생각 안하고 계획짠 자의 최후..
-
내가 과탐을안해봤는데 과탐선택 팁달라고해서 1. 일단 내가 과탐 공부를 한적이없는...
-
나 뭐 죄지음?
-
저건 진짜 대단한 거 맞음 눈가루도 썰렸는데
-
질받아요 2
제발
-
학교에서 인강은 못듣고 문풀은 많이 할 수 있는데 풀리지도 않는 수분감 계속...
-
질문받아요 4
저도
-
질문받음 4
암거나
-
전 초3 때 국어 기말고사 문제가 기억에 남는군뇨 답을 방언 / 방언 / 표준어 /...
-
문학은 전반적으로 퀄리티 올라간게 보이는데 독서 언매는 아직도 빡세네요 사설 점수에...
-
수업시간에 다루시나요?? 아니면 해설영상 따로 올라오나요??
아 뭐야 비켜 !
링크보시면됩니다.
엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요!
즐거운 함수방정식의 세계로 떠나요
요약)dy/dx를 분수 취급하면 정신건강에 이롭다
수포자라서 모르겟다..
의치한 가지마라 무조건 스카이 가라
이 글을 보고 미적분으로 선택했습니다.
이 글을 보고 확통을 선택했습니다
1/y 적분하면 ln|y| 아닌가요?
절댓값
그러네여 ㅎㅎ 죄송합니다
TMI)
고등과정에선 절댓값을 붙이지만....
복소해석학의 관점에서 계산을 하면 상관없습니다.
약간의 오일러 공식과 함께 계산을 곁들이면
고등과정에서의 case를 나눈 결과과 같아집니다.
대략) y=Ae^x에서 A가 양수뿐만 아닌 실수인 이유라고 생각하시면 됩니다.
ㅋㅋㅋㅋㅋ 잊고살았던 공수의 기억
공학수학의 향기가 느껴지는 글이네요
미방 에쁠받아서 좋았는데 이제 다른데 가면 날아갈성적 ㅅ;
대학입시에서 이런 스킬들은 잡스킬. 딱 그정도.