첨점 미분가능 관련질문!!!!

Question

f(x)가 x=a에서 첨점을 가질때 f(x)(x-a)는 x=a에서 미분가능 이라는데 왜 그런건지 모르겠어요 설명해주실 천사를 찾습니다

4시반칼퇴근 · Accepted Answer

g(x)로 치환해서 미분가능성의 정의 써도되고 (×-a)^2을 인수로 가져서 결국은 같은 거지만요

조던꺾어신고 · Answer

x=a에서 첨점을 가진다
= x=a에서 연속이지만 미분 불가능하다.

f x g가 미분가능한 함수가 될 조건 (단, g는 최고차항의 계수가 1인 일차함수)
f가 x=a에서 연속이지만 미분불가능하다.
=> f는 x=a에서 함숫값을 갖지만 미분계수가 다르다.
즉 f x g가 미분 가능하려면 f x g를 미분한
f'(x)g(x)+f(x)g'(x)가 x=a에서 좌극한과 우극한이 같아야 하는데  f'(x)가 좌우극한이 다르기에 f'(x)g(x)가 f'(x)의 x=a에서의 좌극한과 우극한이 다르게 나와서  f'(x)g(x)+f(x)g'(x)가 x=a의 좌극한과 우극한을 같게 해주는 방법(같아야 미분 가능한거니까)은 0을 곱해 0을 만드는 수 밖에 없다. 즉 g(a)=0이면 되기에 g(x)=(x-a) 가 됨
따라서 f(x)(x-a)는 x=a에서 미분가능함

만약 f가 x=a에서 첨점마저도 못가지는 불연속 상태(불연속 지점의 좌우극한이 발산하는 경우 제외)라면 같은 원리로 f(x)g'(x)도 0이 되어야 해서 (x-a)가 두개 필요. 즉, f(x)(x-a)^2 는 x=a에서 미분 가능

근데 당연하겠지만, f는 x=a가 아닌 지점들에서는 모두 미분가능하다는 전제가 있어야 한다는건 알고있죵

Cjddns · Answer

뉴런 벅벅 들으면 모두 해결

첨점 미분가능 관련질문!!!!

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