물리1) 로렌츠 변환과 민코프스키 도표로 이해하는 상대론(1)
게시글 주소: https://orbi.kr/00055199067
*주의 : 인강 듣기 전에 인터넷 보면서 복습해본거라 틀린 부분이 있을 수 있습니다. 지적해주시면 감사하겠습니다.*
1. 로렌츠 변환
사건의 좌표는 관찰자에 따라 다르게 나타납니다.
뉴턴 역학에서도 움직이는 관찰자와 정지한 관찰자가 보는 세상은 다르죠.
그래서 관찰자를 바꿀 때 좌표계 변환을 해줘야 하며, 뉴턴 역학에선 갈릴레이 변환을, 상대성 이론에선 로렌츠 변환을 사용합니다.
위 식이 로렌츠 변환입니다.
예를 들어 관측자 A가 우주 공간에 2022년 3월 1일에 가만히 서 있는 사건을 사건 X라 해보겠습니다.
이 사건을 원점으로 하는, 그리고 그때의 관측자 A에 대해 정지한 좌표계를 좌표계1,
이 사건을 원점으로 하는, 그리고 그때의 관측자 A에 대해 +0.6c로 이동하는 좌표계를 좌표계2라 부르죠.
좌표계1의 관점에선 (x, ct), 좌표계2의 관점에선 (x', ct')으로 표현하겠습니다. (c : 광속, x와 x'은 위치, t와 t'은 시간을 나타냄)
사건 X는 원점이므로 x = 0, ct = 0, x' = 0, ct' = 0입니다.
어떤 사건의 좌표가 좌표계1에서는 (x,ct), 좌표계 2에서는 (x', ct')이라면, 두 좌표 사이의 관계는 어떻게 될까요?
로렌츠 변환을 걸어보면 다음과 같은 관계가 있음을 알 수 있습니다.
(계산해보면 감마가 5/4, 베타가 +0.6이죠)
x'에서 x로 다시 되돌릴 수도 있습니다. β가 -0.6으로 바뀌는 점을 주의하셔야합니다. (상대속도의 기준이 바뀌니까 부호도 바뀌죠) .
2. 민코프스키 도표 - 개념
보시다시피 로렌츠 변환은 간단하지 않습니다. 이를 시각화하는 방법이 민코프스키 도표입니다.
즉, 민코프스키 도표를 이용하여 한 사건을 여러 좌표계의 성분 표현으로 옮길 수 있습니다.
위 도표는 이차원 시공간(위치 1차원 + 시간 1차원)의 두 관성좌표계를 한 평면 위에 나타낸 것입니다.
(y축이 시간 t가 아닌 거리 ct인 이유는, 여러모로 편하기 때문입니다. 이를테면 빛은 기울기가 1인 세계선을 그리며 도표 위에 나타나죠.)
편의상 위 그림의 검은색 좌표계를 좌표계1, 파란색 좌표계를 좌표계2라 부르겠습니다.
좌표계2의 위치축인 x'축의 직선의 방정식을 좌표계1에 대해 나타내면 다음과 같습니다.
β는 (좌표계1에 대한 좌표계2의 속도)/c입니다.
시간축은 위치와 시간을 바꿔주면 됩니다.
이렇게 두면 사건 A는 좌표계 1로도, 좌표계 2로도 읽을 수 있습니다.
3. 민코프스키 도표 - 실습
예를 들어보겠습니다.
좌표계1, 좌표계2는 <1. 로렌츠 변환>에서 사용한 좌표계입니다.
사건 Y를 (x=4, ct = 0)인 동시에 (x'=5, ct'=-3)인 사건이라 두고 민코프스키 도표 위에 올려보겠습니다.
(로렌츠 변환 걸어보면 타당함을 확인할 수 있습니다.)
그런데 (x', ct') = (5, -3)처럼 보이시나요..?
길이비는 5 : 3 같아도 길이가 5는 아닌 것 같지 않나요?
두 좌표계는 다른 좌표계이며, 따라서 길이의 단위를 공유하지 않습니다.
로렌츠 변환을 걸어서 확인하면 됩니다.
근데 한번 기하적으로 이 길이를 확인해봅시다
4. 민코프스키 도표의 기하적 해석 : 로렌츠 불변성과 쌍곡선을 이용
어떤 두 사건의 "시간차의 제곱 - 변위의 제곱"은 어떤 관성 좌표계를 잡더라도 상수입니다.
이를 로렌츠 불변성이라 부릅니다.
우리가 잡은 두 좌표계처럼 원점을 공유하는 좌표계의 경우, 두 사건 중 한 사건을 원점 사건으로 두고 다음과 같이 나타낼 수도 있습니다.
한편 아래와 같은 꼴인 곡선의 방정식을 쌍곡선이라 부릅니다. 이 곡선 위의 임의의 점은 y좌표의 제곱과 x좌표의 제곱의 차가 동일합니다. (힘내라 미적이!!)
사건 Y의 x' 좌표를 구하기 위해, 사건 A를 다음과 같이 정의했습니다.
"x' = Y의 x' 좌표, ct' = 0인 사건"
사건 A의 x좌표를 x1, y좌표를 y1, y1^2 - x1^2 = L이라 둬보죠. (ct를 그냥 y라 생각해요)
그럼 사건 A는 좌표계1의 관점에선 위의 점입니다.
한편 (x1, y1)이 이 쌍곡선 위의 점이면, 접선의 기울기는 다음과 같이 구할 수 있습니다.
(x1, y1)이 x'축에 있으면 접선이 ct'축에 평행하고, (x1, y1)이 ct'축에 있으면 접선이 x'축에 평행함을 알 수 있습니다.
x'축과 ct'축이 y=x 대칭이기 때문입니다.
이런 접선의 평행관계를 생각하며 그림을 그려보면 다음과 같은 쌍곡선이 나옵니다.
지오지브라로 그려서 정확하게 그려졌고 L이 25임을, 그래서 x' = 5임을 확인할 수 있습니다.
접선을 이용하면 지오지브라가 없더라도 어느정도 정성적으로 구할 수 있습니다.
대소관계를 비교할 수도 있고요.
다음 시간에는 로렌츠 변환과 민코프스키 도표를 이용해 각종 상대론의 현상이나 역설을 음미해보겠습니다.
제가 좀 어렵게 쓴 것 같네요. 배움이 얕아서 ㅎㅎ..; 양해부탁드립니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
내가 할수있는건 똥글싸기뿐
-
도움을 주신 모든 분들께 감사의 인사드립니다
-
내면세계가 뭘까 몇번을 읽고 풀어도뭐라고 딱 떨어지게 이거다 말하기가 어려움
-
출근하기 싫어 1
출근하기 싫어 일 안하고 돈 벌고 싶어
-
안그래도 바닥이였는데..
-
강k 19회차보다 어려웠나요?
-
말출 28일 ㅜㅜㅜ 40일이나 여기 더 있어야??ㅜㅜㅜ
-
나는 과외
-
친절함 (사람에게 친절하고 부모에게 잘하고) 지능 (공부, 일머리, 사업 등 관련된...
-
앞으로 남은 컨텐츠들 여름계간지 이감,상상 파이널(간쓸개,이매진 포함), 스키마모고...
-
내년에 다닐려고 하는데 인터넷에 부정적인 후기글이 몇 개 존재해서 좀 망설여지는데...
-
.
-
출튀도했으니 13
늦은 점심을...
-
3덮 생윤윤사 답 있으신분 ㅡㅜ
-
안녕하세요 제가 신청한 프리패스권 이제 취소 할려고 하는데요 연락이 잘 되지 않아 쪽지 남겨봅니다.
-
한자어 때문에 고전시가 풀때마다 때려맞춘다는 느낌을 많이 받는데 어휘모음집 같은거...
-
어느정도 베이스 있는 삼반수생들은 1년 하나 세달 하나 차이가 없는거 같음 오히려...
-
일단은 시켜놨는데
-
같은 현실에서 전혀 다른걸 보고있는듯함
-
이참에 옷걸이나 팔아볼까
-
9평때 광한루기 나왔으면 수능땐 춘향전 절대안나오나 0
두번다 춘향이 얘기는 안나오겠지?
-
공하싫공하싫 2
하
-
순수 재미 GOAT 내신 때 이거만 한 게 없네요
-
악마는 디테일함에 있다 그러니깐 어려운 지문과 문제는 꼼꼼하게 읽지 않으면 반드시...
-
해야될 것들 0
국어 우만수 수강하면서 에필로그 풀기 배웠던 지문 다 다시 차근차근 풀기 주 1회...
-
[무료 배포] 통합과학 중간고사 대비 모의고사 3회 0
더 나은 학습 환경을 제공하기 위한 새로운 교육 생태계 구축 프로젝트, SYNC가...
-
해설 보면 '공차가 음수이므로 a5>0, a6<0이다'라고 나와있는데 왜 그런건가요,,,,,,
-
영어시험중인가보네
-
완강해본게 몇년전이지
-
국어 고전 1
고2인데요 고전소설이나 고전시가 이런건 진짜 1도 무슨말인지 이해가 안되는데 어떻게...
-
포스텝 ㄹㅇ존좋 0
교재없이 걍 들어도되고 몰입도도 너무조음
-
테스트하는건데.. 그걸왜함?
-
N이 많아질수록 인강을 잘 안 봄
-
저메골 2
국밥 짬뽕 돈까스 싸이버거 라면
-
전국서바 문제인데 ㄷ 선지가 왜 맞는건지 모르겠어요 ㅠㅠ
-
8학군에서 연고대 붙으면 잘 간건가요 못 간건가요? 6
오르비 유저분들의 생각이 궁금합니다
-
국어는 높2정도 실력 사탐은 둘다 11띄웠어요 수학은 찍맞 포함해서도 겨우겨우...
-
내가 인정받는것은 불가능한가
-
문학 연계율이 0
주로 고전운문> 고전산문> 현대운문 > 현대산문 이정도 맞나요?
-
킬캠 시즌2 2회 미적 2930 틀려서 92인데 순서대로 쭉 풀고 29,30 오니까...
-
사실 잠깐 응통에 마음이갔었는데 모집인원수보고 호다닥 런 역시난 경제원툴이지 수석...
-
높3이 공통선택 세개다 뉴런+수분감 오답까지 끝내면 어느정도 오르지 3
ㅈㄱㄴ요… 높2가능? 좀 무리인가 숙련도는 한 아주 몇문제빼고는 다시 풀면 풀리는...
-
으어어엉
-
오늘도 힘찬하루! 내일도 힘찬하루! ㅎㅎㅎ
-
왜 답이 틀린거야?
-
오늘 점심은? 2
어제 엄마랑 동생이 시켜먹고 남은 제육 여따가 밥넣고 볶아서 먹을듯!
-
시간개빠른거무엇
-
계산살수하기 좋게 문제를 설해놨다...
사실 일반 물리1이었던 거임 ㅋㅋㅋ
제가 민코프스키 도표는 혼자서 배운거라 오류 있을 수 있는데 오류 발견하신 분 있으면 알려주시면 정말 감사하겠습니다.
와우..