[급ㅠㅠ]모평균추정 질문입니다

Question

[문제] 전국연합학력평가 후 응시생 1600명 임의추출해서 가채점했더니 수리점수 표준편차가 16점이다
수험생 전체 수리 평균점수 m을 95퍼 신뢰도로 추정한 신뢰구간이 [알파,베타]이다.
p(0<z<1.96) =0.475

알텍 144쪽 문제를 간단히 추려보았습니다.

여기서 16이 표본표준편차인데(즉 루트엔분의시그마)인데
답을 구할때는 풀이가 x바-1.96 x 16/루트1600 이런식으로 나가거든요
이게 표본표준편차지만 모표준편차를 대신한다는 것인데, 어떤뜻인지 이해는 갑니다.
저는 이게 주관식이었으면 틀렸을겁니다. 그냥 1.96에 16을 곱했겠죠

이 문제에서 표본표준편차를 모표준편차 대신해서 쓰라는 말이 없는데 왜 모표준편차를 대신하는지 궁금합니다. 1600명이라는 많은 수를 뽑았기 때문에 감잡고 알아서 근사해서 풀란 건가요?

이 궁금증은 뒤쪽 문제에도 계속 확인되는게, 아예 대놓고 표본표준편차가 500이라고 했으면서 다시 그걸 분자에 올리고 루트100으로 나눕니다.
추출한 표본이 많으면 알아서 모표준편차로 근사해서 써야 하나요?

박상진 · Accepted Answer

교과서 예제문제 옆에 짤막하게 주석으로 달려있을 겁니다. 기억은 안 나지만 일정한 값 이상이 되면 모표준편차 대신 표본표준편차를 이용할 수 있습니다. 상식적으로 모표준편차를 알아내는 것보다, 표본표준편차를 알아내는 게 더 쉽겠죠??

transcendent · Answer

일단 중심극한정리에 의해서 정규분포를 따르는 모집단이 아니더라도 표본평균의 분포는 정규분포에 근사하잖아요. 거기에다가 표본의 크기를 늘리면 표본표준편차가 모표준편차에 수렴한다는 성질이 이용된 거에요. 일치추정량이라고 하는데, 모표준편차가 없으면 이용하는구나 하고 넘어가는 게 좋을 것 같네요.

T.K. · Answer

크기가 충분히 크다면 표본표준편차 = 모표준편차로 봄.

수능에서 나온다면 무조건 등식으로 놓고 풀면 됨. 표본 3,4명 뽑고 그 표준편차 구해서 다시 하라는 식의 문제는 출제하지 않음.

성균반수학원 · Answer

개념 용어 구분이 잘 안되신것 같네요

신뢰구간 구할때 'x바-1.96 x (모표준편차/루트n)' 잖아요

여기서 '모표준편차'는 말 그대로 '전국연합학력평가'에 응시한 수십만명 학생들의 표준편차구요

위의 식에서 '모표준편차/루트n'으로 구하는건 '표본평균의 표준편차' 에요

그리고, 문제에서 주어진 '표본표준편차'는 그 중 1600명 학생들의 데이터로 구한 표준편차에요

다시 말해서, '표본표준편차'는 저 특정한 1600명짜리 표본 하나에서 구한 표준편차구요 (16)

'모표준편차'는 전국 모든 학생들의 점수를 다 포함하는

수십만명짜리 모집단에서 구한 표준편차에요 (데이터 너무 커서 몇인지 구하기 힘듬)

그리고 신뢰도를 계산할때 사용하는 '표본평균의 표준편차'는

모집단에서 뽑을 수 있는 모든 표본들의 평균(표본평균)이 얼마나 퍼져있나를

나타내주는 지표에요 (모표준편차/루트n)

그니깐 문자로 나타내면 모표준편차가 б이고 표본표준편차는 S면

표본평균의 표준편차는 б(X바) 이고 이 값이 б/루트n 인거에요

또한, 표본의 크기가 충분히 크면 б(X바)=б/루트n 을 계산할때

모표준편차б 대신 표본표준편차S를 쓸수 있는거구요

제가 설명을 잘 못해서 글이 길어졌는데

요약하면
1. '표본표준편차'와 '표본평균의 표준편차'는 서로 다른 것이다.
2. 신뢰구간은 [X바 +- k*(모표준편차/루트n)] (모표준편차/루트n=표본평균의 표준편차)
3. n이 크면 표본표준편차=모표준편차로 써도 된다.

열공하세요~!

hellolaw · Answer

추정의 의미를 생각해 보셔요
모표준편차를 구하려고 추정을 하는건데 그걸 어떻게 알고 추정을 하나요 그걸 알면 추정을 안 하죠 모집단에 대해 정확히 아는건데(모표준편차를 구하려면 모평균을 알아야 하는데 그럼 결국 모평균 추정이 필요가 없음)
(드문 경우 가능하긴 하지만 모집단의 특성을 알아야 함)

추정할 때 모표준편차는 대부분 모릅니다 그래서 표본표준편차를 사용할 수 밖에 없구요
이게 맞는지는 대학가서 배우시면 됩니다
고등학교 과정에서는 모표준편차 대신에 표본표준편차 s를 사용할 수 있다고 배웁니다

[급ㅠㅠ]모평균추정 질문입니다

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