급 졸리네요 저는 진짜 수학 머리가 없나봐요

?? ㅇㅌㅅㅍ에서 본것 같은 느낌이 드는건 기분 탓인가요?

오늘까지 정답자 안나오면 글지우겠습니다

다섯 문제네요. 시간이 없을 수험생을 위해 풀이를 올립니다+_+ 엄청난 스포가 될 것이므로.. 미리 양해구하며.. 첫 번째 문제. 이건 예전에 풀이를 올린 적이 있는 문제라서 그대로 붙여넣기 할게요 ㅋ_ㅋ 자연수 k에 대하여 log2^k 의 지표와 가수를 각각 f(2^k)=n_k, g(2^k)라 하면, g(2^k)=0.3010k-n_k=kx-n_k (x=0.3010) ① 일단 겹치는 원소가 있는지부터 알아보겠습니다. 자연수 i, j (i>j)에 대하여 g(2^i)=g(2^j)라면, g(2^i)=g(2^j) ⇒ ix-n_i=jx-n_j ⇒ (i-j)x=n_i-n_j ⇒ i-j=1000d (d는 자연수, ∵n_i-n_j는 음이아닌 정수) ⇒ 301d=n_i-n_j ∴ A_n=A_(n+301d), B_n=B_(n+301d) 이에 A_0, A_1, ..., A_300에는 겹치는 원소가 없음을 알 수 있습니다. 출제자의 의도에 맞춰 이후 k＜1000 인 경우만 고려할게요. ② n의 변화에 따라 A_n이 어떤 규칙으로 구성되는지를 살펴보겠습니다. 이해를 돕기위해 A_0, A_1, A_2 를 적어놓을게요. A_0={(0x), 1x, 2x, 3x}={(0), 0.301, 0.602, 0.903} A_1={4x-1, 5x-1, 6x-1}={0.204, 0.505, 0.806} A_2={7x-2, 8x-2, 9x-2}={0.107, 0.408, 0.709} (A_0의 원소 중 0x는 포함되지 않지만 편의상 적어넣었습니다) g(2^k)=kx-n_k 이므로 A_n의 원소는 반드시 kx-n의 꼴로 적히게됩니다. 이제 k=p일 때와 k=p+10c일 때를 비교해보아요.(p=0,1,...9, c는 음이아닌 정수) k가 10증가하면 10x=3.01이므로 원소는 0.01 증가합니다. 물론 0.99이상인 상태에서 0.01이 증가하면 다시 1을 빼줘서 0.99감소한 걸로 보일텐데요, 그러기위해서는 A_0, A_1, A_2 의 원소 중 가장 큰 3x=0.903 에서조차도 k가 100은 증가해야합니다. 이는 20이하의 자연수 m이라는 조건에 위배되므로 "k가 10증가하면 원소는 0.01 증가한다" 라는 명제는 참입니다. 따라서, A_n을 다음과 같이 정의할 수 있습니다.(n≤20) n=3c 일 때, A_n={kx-n|k=p+10c, p=0,1,2,3} n-1=3c 일 때, A_n={kx-n|k=p+10c, p=4,5,6} n-2=3c 일 때, A_n={kx-n|k=p+10c, p=7,8,9} ③ A_n을 알았으니 이제 그에 따른 B_n을 생각하고 둘의 관계를 파악하겠습니다. n=3c 일 때, A_n={kx-n|k=p+10c, p=0,1,2,3} B_n={k'x-2n|k'=p'+20c, p'=0,1,...,6} n-1=3c 일 때, A_n={kx-n|k=p+10c, p=4,5,6} B_n={k'x-2n|k'=p'+20c, p'=8,9...,12} n-2=3c 일 때, A_n={kx-n|k=p+10c, p=7,8,9} B_n={k'x-2n|k'=p'+20c, p'=14,15,...18} B_n의 원소 중 1보다 큰 것은 A_m이 부분집합임을 판단하는데에 전혀 영향을 미치지 못하므로 B_n의 원소 중 1미만 인 수만 골라서 부분집합 C_n을 만들게요. 그렇다면 A_m⊂B_n 이기 위해서는 반드시 A_m⊂C_n 이어야 하고, 필요충분조건이므로 모든 경우를 판별할 수 있습니다. ②에 의해 C_n을 다음과 같이 설정할 수 있습니다. n=3c 일 때, C_n={k'x-2n|k'=p'+20c, p'=0,1,2,3} n-1=3c 일 때, C_n={k'x-2n|k'=p'+20c, p'=8,9} n-2=3c 일 때, C_n={k'x-2n|k'=p'+20c, p'=14,15,16} 위의 결과와 ①에 의해 A_m⊂C_n 이기 위해서는 적어도 m=2n을 만족해야하고, A_2n과 C_n의 원소를 살피면 n-2=3c일 때와 n=3c일 때만 A_2n⊂C_n 이 성립함을 알 수 있습니다. 단, n=0일 때는 임의로 A_n에 원소 0을 넣었으므로 B_0을 살펴보아야 합니다. B_0={2x,3x,4x,5x,6x}니까 A_0은 B_0의 부분집합이 아니네요. ③의 결과에 의해 (모든 m+n 값의 합) =(3n의 합) =3×{(2+5+8)+(3+6+9)} =99.

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수학실모예찬론자 [410085] · 쪽지

2014-09-19 23:53:32
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아귀찮아ㅡ.ㅡ · 510934 · 14/09/19 23:54 · MS 2014

급 졸리네요 저는 진짜 수학 머리가 없나봐요

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플루토늄 · 451090 · 14/09/19 23:56 · MS 2013

?? ㅇㅌㅅㅍ에서 본것 같은 느낌이 드는건 기분 탓인가요?

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수학실모예찬론자 · 410085 · 14/09/19 23:56

맞아요
거기문제도 있음

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in709 · 408186 · 14/09/20 01:10 · MS 2012

맨 위 문제는 혐

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수학실모예찬론자 · 410085 · 14/09/20 08:10

오늘까지 정답자 안나오면 글지우겠습니다

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두리둥둥이 · 510458 · 14/09/20 14:33 · MS 2017

다섯 문제네요. 시간이 없을 수험생을 위해 풀이를 올립니다+_+
엄청난 스포가 될 것이므로.. 미리 양해구하며..

첫 번째 문제.

이건 예전에 풀이를 올린 적이 있는 문제라서 그대로 붙여넣기 할게요 ㅋ_ㅋ

자연수 k에 대하여 log2^k 의 지표와 가수를 각각 f(2^k)=n_k, g(2^k)라 하면,
g(2^k)=0.3010k-n_k=kx-n_k (x=0.3010)

① 일단 겹치는 원소가 있는지부터 알아보겠습니다.

자연수 i, j (i>j)에 대하여 g(2^i)=g(2^j)라면,
g(2^i)=g(2^j)
⇒ ix-n_i=jx-n_j
⇒ (i-j)x=n_i-n_j
⇒ i-j=1000d (d는 자연수, ∵n_i-n_j는 음이아닌 정수)
⇒ 301d=n_i-n_j
∴ A_n=A_(n+301d), B_n=B_(n+301d)
이에 A_0, A_1, ..., A_300에는 겹치는 원소가 없음을 알 수 있습니다.
출제자의 의도에 맞춰 이후 k＜1000 인 경우만 고려할게요.

② n의 변화에 따라 A_n이 어떤 규칙으로 구성되는지를 살펴보겠습니다.

이해를 돕기위해 A_0, A_1, A_2 를 적어놓을게요.
A_0={(0x), 1x, 2x, 3x}={(0), 0.301, 0.602, 0.903}
A_1={4x-1, 5x-1, 6x-1}={0.204, 0.505, 0.806}
A_2={7x-2, 8x-2, 9x-2}={0.107, 0.408, 0.709}
(A_0의 원소 중 0x는 포함되지 않지만 편의상 적어넣었습니다)

g(2^k)=kx-n_k 이므로 A_n의 원소는 반드시 kx-n의 꼴로 적히게됩니다.
이제 k=p일 때와 k=p+10c일 때를 비교해보아요.(p=0,1,...9, c는 음이아닌 정수)
k가 10증가하면 10x=3.01이므로 원소는 0.01 증가합니다. 물론 0.99이상인 상태에서 0.01이 증가하면 다시 1을 빼줘서 0.99감소한 걸로 보일텐데요, 그러기위해서는 A_0, A_1, A_2 의 원소 중 가장 큰 3x=0.903 에서조차도 k가 100은 증가해야합니다. 이는 20이하의 자연수 m이라는 조건에 위배되므로 "k가 10증가하면 원소는 0.01 증가한다" 라는 명제는 참입니다.

따라서, A_n을 다음과 같이 정의할 수 있습니다.(n≤20)
n=3c 일 때, A_n={kx-n|k=p+10c, p=0,1,2,3}
n-1=3c 일 때, A_n={kx-n|k=p+10c, p=4,5,6}
n-2=3c 일 때, A_n={kx-n|k=p+10c, p=7,8,9}

③ A_n을 알았으니 이제 그에 따른 B_n을 생각하고 둘의 관계를 파악하겠습니다.

n=3c 일 때, A_n={kx-n|k=p+10c, p=0,1,2,3}
B_n={k'x-2n|k'=p'+20c, p'=0,1,...,6}
n-1=3c 일 때, A_n={kx-n|k=p+10c, p=4,5,6}
B_n={k'x-2n|k'=p'+20c, p'=8,9...,12}
n-2=3c 일 때, A_n={kx-n|k=p+10c, p=7,8,9}
B_n={k'x-2n|k'=p'+20c, p'=14,15,...18}

B_n의 원소 중 1보다 큰 것은 A_m이 부분집합임을 판단하는데에 전혀 영향을 미치지 못하므로 B_n의 원소 중 1미만 인 수만 골라서 부분집합 C_n을 만들게요. 그렇다면 A_m⊂B_n 이기 위해서는 반드시 A_m⊂C_n 이어야 하고, 필요충분조건이므로 모든 경우를 판별할 수 있습니다. ②에 의해 C_n을 다음과 같이 설정할 수 있습니다.

n=3c 일 때, C_n={k'x-2n|k'=p'+20c, p'=0,1,2,3}
n-1=3c 일 때, C_n={k'x-2n|k'=p'+20c, p'=8,9}
n-2=3c 일 때, C_n={k'x-2n|k'=p'+20c, p'=14,15,16}

위의 결과와 ①에 의해 A_m⊂C_n 이기 위해서는 적어도 m=2n을 만족해야하고, A_2n과 C_n의 원소를 살피면 n-2=3c일 때와 n=3c일 때만 A_2n⊂C_n 이 성립함을 알 수 있습니다. 단, n=0일 때는 임의로 A_n에 원소 0을 넣었으므로 B_0을 살펴보아야 합니다.
B_0={2x,3x,4x,5x,6x}니까 A_0은 B_0의 부분집합이 아니네요.

③의 결과에 의해
(모든 m+n 값의 합)
=(3n의 합)
=3×{(2+5+8)+(3+6+9)}
=99.

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두리둥둥이 · 510458 · 14/09/20 14:53 · MS 2017

두 번째 문제 풀이.
답이 틀렸거나 다르거나 논리적 결함이 있으면 지적부탁드립니다^_^

h(x)=f(x)/g(x) 라 할 때,
h(-1)=f(-1) …①, h(0)=f(0) …②, h(x)=f(x)/x (x≠-1,0) …③

만약 f(x)의 상수항이 0이 아니면, ③에서 x→0 일 때, h(x)의 좌극한과 우극한은 -∞과 ∞중 하나씩을 골라가므로 h(x)는 절대 연속일 수 없습니다.
∴ f(x)=ax^3+bx^2+cx

다음, ②에서 h(0)=f(0)=0이고 h(x)는 연속이므로
lim_(x→0) h(x) = lim_(x→0) f(x)/x = c = 0
∴ f(x)=ax^3+bx^2

끝으로, ①에서
lim_(x→-1) h(x) = f(-1)
⇒ lim_(x→-1) f(x)/x = f(-1)
⇒ a-b = -a+b
⇒ a=b
∴ f(x)=ax^3+ax^2 = a(x^2)(x+1)

f(8)/f(3) = (a×8^2×9)/(a×3^2x4) = 8×2 =16.

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두리둥둥이 · 510458 · 14/09/20 15:52 · MS 2017

세 번째 문제 풀이.
역시 답이 틀렸거나 다르거나 논리적 결함이 있으면 지적부탁드립니다^_^

절댓값이 들어있어서 어려워보일 수 있지만, 결국 구간별로 3차함수 그래프의 개형을 띈다는 걸 생각하면 부담이 줄어듭니다. 그 구간은 -3과 3이 기준이 되므로 각 구간을
A = {x| x<-3 or 30 이므로, 사실상 조건1과 조건3은 동치이며, 조건2는 고려할 필요가 없음을 알 수 있습니다.
이제 조건1을 생각하면, -3≤ -4a/3 ≤3
∴ a=-2,-1,0,1,2

5개.

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두리둥둥이 · 510458 · 14/09/20 16:03 · MS 2017

네 번째 문제 풀이.
이건.... 음.. 설명할 자신이 없는..

y=f(x)는 x=0에서 극댓값을 갖는 사차함수입니다.
집합 A에 대해 n(A)를 해석하자면,
'어떤 x=s와 그보다 큰 x=t에 대해 (s,f(s))에서 x축과 평행한 직선을 그었을 때, t

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두리둥둥이 · 510458 · 14/09/20 16:28 · MS 2017

마지막 문제 풀이.
답이 틀렸거나 다르거나 논리적 결함이 있으면 지적부탁드립니다.

a=2b이면, 점A와 점B는 y=x에 대해 대칭이므로 직선 AB의 기울기는 -1입니다.
또, a=2b로 정해진 (a,b)에 대해 만약 a값만 더 작아진다면, A의 좌표는 y=(2b)^x를 따라 우측위로 이동하고 B의 좌표는 y=(2b)^(-x)를 따라 좌측위로 이동하므로 기울기는 반드시 더 작아집니다. 반대로 a값만 더 커지면 기울기는 커지구요.

즉 a는 2이상 2b미만인 한자리 자연수입니다.
∴ 2+4+6+8+8×4 = 52.

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두리둥둥이 · 510458 · 14/09/20 16:28 · MS 2017

마지막 문제 풀이.
답이 틀렸거나 다르거나 논리적 결함이 있으면 지적부탁드립니다.

a=2b이면, 점A와 점B는 y=x에 대해 대칭이므로 직선 AB의 기울기는 -1입니다.
또, a=2b로 정해진 (a,b)에 대해 만약 a값만 더 작아진다면, A의 좌표는 y=(2b)^x를 따라 우측위로 이동하고 B의 좌표는 y=(2b)^(-x)를 따라 좌측위로 이동하므로 기울기는 반드시 더 작아집니다. 반대로 a값만 더 커지면 기울기는 커지구요.

즉 a는 2이상 2b미만인 한자리 자연수입니다.
∴ 2+4+6+8+8×4 = 52.

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수학실모예찬론자 · 410085 · 14/09/20 16:33

ㄷㄷ 다푸셨네요

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두리둥둥이 · 510458 · 14/09/20 16:37 · MS 2017

네ㅎㅎ 답은 맞나요? 틀린 문제는 후다닥 고쳐야하므로..>_<

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수학실모예찬론자 · 410085 · 14/09/20 16:43

지금 알바중이라 집가서 확인해볼게요~

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tmsnthtk · 404515 · 14/09/20 18:40 · MS 2012

출처좀 밝혀주심안되나요?? 꼭좀 부탁드려요 찾아서플고싶은데

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