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백곰달편 [518827] · MS 2014 · 쪽지

2014-09-19 17:25:47
조회수 920

구의전개도 수학산책 4,5단락 이해설명 요청드립니다

게시글 주소: https://orbi.kr/0004884798

http://m.navercast.naver.com/mobile_contents.nhn?rid=22&contents_id=370

구의 전개도는 왜 존재하지않는가 에
대해서 어제글 올렸던 사람입니다

다름이아니라 참고자료를 공부하다가

1 2 3 단락까지는 이해가가는데

4 5 단락이 이해가 미흡합니다

특히 4단락에서

곡면 위의 한 점 P와 그 점에 접하는 평면을 생각하면, 그 평면에 수직이면서 점 P를 지나는 평면들이 존재한다. 이 평면들은 원래의 곡면과 만나 각각 하나의 평면곡선을 이루므로, 이렇게 만든 평면곡선의 곡률을 생각한다.

이 말은 기하학적으로 머릿속으로
계속 상상하고 그려봐도 당최 이해가안가네요

곡면위의 한점과 그점에 접하는 평면?

또 그 평면에 수직이면어 점p를 지나는 평면?

이 평면들이 원래 곡면과만나 각각
하나의 평면곡선을 이루므로?

이 부분과 4,5단락 이해하시는분 계신다면
쉽게 이해할수있도록 설명 부탁드립니다

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백곰달편 [518827]

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  • 고대에서반수 · 408290 · 14/09/19 19:08

    이해가 안될때는 가장 간단한 예를 생각해보는게 상책이죠 구를 생각해보세요!

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  • 백곰달편 · 518827 · 14/09/19 19:14 · MS 2014

    ???

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  • 고대에서반수 · 408290 · 14/09/19 19:25

    하나하나 띄어서 생각해봅시다
    원점을 중심으로 하고 반지름이 1인 구를 생각해볼게요
    P는 (0,0,1)로 잡아도 일반성을 잃지 않겠죠?(적당히 회전하면 되니까!)
    그점에 접하는 평면을 생각할수있겠죠?(z=1)
    그러면 그점을 지나고 그 평면과 수직인 평면은 대략 z축을 포함하겠죠(머릿속으로 떠올려보세요 증면은 귀찮....ㅎㅎ)
    Z축을 포함하는 무수히많은 평면이 존재할거고요 그것은 구와 만나 각각 원을 형성하겠죠?(머릿속에 좌표공간을 생각하고 z축을 그린후 z축을 회전축으로 평면을 빙글빙글 돌려보세요)
    음....이해가 가시나요? 저는 이렇게 이해했는데요 ㅋㅋ

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  • 백곰달편 · 518827 · 14/09/19 19:39 · MS 2014

    분명 이게 맞는말인것같긴한데 지금 아예 상상이안되는걸보니 문제이해가 덜된것같네요 더 생각해야겠습니다..

    점p는 3차원 곡면위의
    임의의점이고 접한다는건 2차원 평면적개념인데 그 임의의점p 와 접한다는게 어떤 모습일지 일단 이것부터가 상상이 안되네요..

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  • 고대에서반수 · 408290 · 14/09/19 20:12

    음.....확실히 접한다는게 3차원에서는 구체적으로 설명되있지 않죠 듄에서도 단지 원의 특징을 확장해서 이해하라고 하는것같고요 ......
    공위에 책받침을 얹어보세요 그러면 접한다는걸 쉽게 이해할수있을걸요??(물론 머릿속으로 하는게 가장 좋습니다 ㅋㅋ)

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  • 백곰달편 · 518827 · 14/09/19 20:26 · MS 2014

    애초에 접한다는 개념이 2차원 평면에서의 원과 직선의 관계에서 나온말인데 3차원에서 쓸수있는 개념이긴한가요?

    3차원 곡면에 2차원 평면이 접한다?

    그건 접하는게 아니라
    그냥 닿는것일뿐
    아닐까요?

    원과직선에서면 한점에서만 만나는 접점이 생겨서로 닿는다고하지만

    구와 평면이
    접한다는 2차원 개념으로 한점에서만 만날수있을까요?

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  • 고대에서반수 · 408290 · 14/09/20 12:11

    제가 고1교과서는 딱히 주의깊게 봐보지 않아서 혹시 모르지만 고교교육과정내에서 공간상에서 접한다는건 딱히 엄밀하게 다뤄지지 않는듯해요
    잘은 모르지만 흔히들 직선은 일차원이라고 하죠 일차원 직선에 2차원 도형이 접하는거를 2차원 평면이 3차원 도형에 접한다로 해석할수도 있지 않을까요??

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  • 백곰달편 · 518827 · 14/09/20 14:15 · MS 2014

    3차원구와 2차원 평면은곧 선으로 생각 할수있할수있으니 한점에서 접한다는게 가능한것 같네요

    구는 무수히 많은 원들이 합쳐져있으니 그중하나와는 직선이 접하겠네요

    그런데 링크의 4단락 윗그림을보시면

    말안장같이 생긴 곡면의
    곡률은 곡면위의 한점을 지나는 곡선의곡률로 구한다는데

    곡면위의 임의의한점에 접하는 평면?

    3차원 말안장 곡면위 한점에 접하는평면을
    저는 직선이라고 생각했고(3차원에도 선은 있으니까)

    또 그 접하는평면(3차원직선)에 수직이면서 그 점을 지나는 평면(이것도 3차원직선)들은

    다시 원래의 곡면(말안장)과 만나 각각 하나의 평면곡선을 이루므로


    여기까지가 위에 제가 이해안가는내용을 제 상상대로 생각한 내용입니다

    말안장에 한점에접하는 평면(3차원직선)
    즉
    공위에 책받침,

    그런데 또 평면(3차원직선) 즉 책받침에 수직이고 접하는 한점을 지나는평면들(3차원직선들)이

    다시 원래의 공과 만나
    새로운 평면곡선을 이루므로??

    책받침에 수직이고 접하는한점을 지나는 평면들은 그 한점을 중심기준점으로 360도 돌리면 원기둥이 될텐데 원기둥은 무수히 많은 크기가 같은 사각형들이 있으므로

    그사각형들이 모두 다 수직으로서 책받침과만나고 책받침과 공의 접점도 포함하게되죠

    그런데 그 수직인 평면들(합치면 원기둥인 무수히 많은 사각형들)이

    원래의 공과만나 각각의
    평면곡선을 만든다는게
    이해 상상이 안그려집니다

    색종이를 공에 대도 (공위 한점에 접하는평면에 수직이고 그한점 포함하는 즉 지나는) 색종이가
    공과 평면곡선을 만들진않는데...

    최대한으로 상상을 그대로 쉽게 표현하고자 했습니다

    결과적으로
    제머릿속에는 ㅇ의
    윗머리 획이 평행하는
    ㅎ이 아닌 서로수직인
    ㅎ이 그려집니다

    이해하셨다면 틀린점
    지적 부탁드립니다

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  • 고대에서반수 · 408290 · 14/09/21 23:15

    음.........ㅇ이랑 ㅎ얘기는 잘 이해를 못하겠네요
    공을 마룻바닥에 본드로 접착시키고(접한다) 그 점을 지나게 칼로 공을 자르면(공의형태는 변하지않는다고 생각합시다) 그 단면이 원이 되지 않을까요??
    그 원은 평면곡선입니다 왜냐면 그 칼의 자취인 평면 위에 존재하니까요
    아마 제생각에는 '댄다'로 미루어보아 뭔갈 잘못생각하고계신것같은데 접점을지나고 원래평면에 수직인 평면은 구를 자를수밖에 없습니다
    색종이를 '대려면' 아마 범위가 정해져있는 평면의일부 혹은 반평면이여야 할겁니다 조건을 만족하는 (무한한) 평면은 자를수밖에 없으니까요

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  • 백곰달편 · 518827 · 14/09/21 23:32 · MS 2014

    그런데 그러면 그 단면인 원들이(평면곡선)들이 무한히 많을텐데 (무한히 많은 평면으로자른것이니)

    그 단면 원들은 모두 접점을포함해야하므로 무한히많이 생길 곡률들이 다 똑같지않나요?
    잘라서 생길 평면곡선들이요.


    아 그래서 가우스곡률이
    r^2분의1 이라는거군요!

    그런데 공으로는 이해가가는데
    링크 그림처렁 말안장같은 경우에는 마룻바닥에 한점 접점으로 붙일수도없고 그래서 그위에 곡선의 곡률로 정한다는데 칼로 접점을 지나게 가르면 단면(평면곡선) 안생기는
    데 어떻게 생각해야할까요??

    그리고 맨마지막 단락에서
    구 위의 임의의점에서의 곡률과

    평면위의 점의 곡률이 일치하지않는다는데

    구위의접점 곡률은 r^2분의1로
    이해했는데

    평면위의 점의 곡률은 그냥
    그점을 지나는 직선이된다는데
    이점에 대해서 쉽게 설명 가능할까요?

    거의 다온것같은데
    2%부족하니 답답한경우네요

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