2014 수능 수학B형 29번 대수적 으로 푸는건가요?

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[1]

반지름이 2인 구의 두점을 잇는 벡터 PQ를

2(a,b,c)이고 a^2+b^2+c^2=<4 라는 식을 세워 표현합니다.

[2]

벡터 (a,b,c)와 두 평면의 식을 내적해서 sin값을 구하고 이걸통해 cos값을 구합니다. (1-x^2)^(1/2)

(어차피 나중에 제곱하게되니까 부호는 상관없습니다.)

[3]

2에서 구한 cos값 두개를 각각 2l(a,b,c)l랑 곱합니다. 그리고 그값을 제곱하여

문제에서 준 2PQ제곱 어쩌고 저쩌고 를 구합니다.

[4]

3의 결과로 5b^2+3c^2+2루트3bc가 나옵니다.

그럼 [1]에서의 식 a^2+b^2+c^2=<4에서 a를 없애면

(답에 a가 관여하지않고, 범위니까 최대한 넓어야 답을 포함하지 않을 가능성을 배제할수 있으니까?) b^2+c^2=<4라고 할수 있겠죠?

[5]

b=kcosx c=ksinx 라고 하면(삼각함수 치환), k^2=<4 입니다.

k^2[3+(cosx)^2+2루트3 sinxcosx = 4+cos2x+루트3cosxsinx] 정리하면

k^2(4+cos2x+루트3cosxsinx)이 되고

최댓값은 6k^2에서 k^2=<4 이므로 답은 24입니다.

보시면 그림을 전혀 보지않는 풀이를 해놨는데

이거외엔 풀이가 떠오르지않고

뭔가 공간적감각을 이용하려니 두려움이 앞서네요

원래 주된 풀이 방법이 이건가요?

그리고 혹시 제 풀이에 오류가있다면 지적 부탁합니다.

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무슨 생각을 해 [459847]

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서해대학 · 481434 · 14/08/04 11:42

그거 저렇게푼수험생 맞춘사람중에 얼마나될까요..

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YB와이비 · 508502 · 14/08/04 12:52 · MS 2014

대부분 직괸적으로 풀었을듯...
느낌상 이럴것이다, 해서 마춘 사람이 대부분 같던데요,

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제발성공하자 · 478604 · 14/08/04 18:35 · MS 2013

저풀이는 시험장에서 쓰기엔 무리가잇을거같은데요...

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로빌 · 365897 · 14/08/04 23:24 · MS 2019

보통 저기서 k를 안놓고 바로 직관이라는 명분으로 2로 놓고 가는경우가 많고 삼각치환외에 코시슈바도 변형후 가능해요 매우 이건 관찰이 뛰어나야되지만 이풀이하나가 정해가능성잇고 가장 짧아요 중간단계에서 코사인을 안구하고 바로 정사영벡터크기를 구하게하면 되지만 그건 모르면 패스 아님 기하적인데 기하적인풀이는 위치벡터의 정의 삼수선 정리 등이 요구되서 왜 지름이어야하는지 왜 한평면에 놓여야하는지 두단계를 걸쳐 입증하고 두가지케이스가 나와요 사이에 존재할때와 밖에 존재할때 결국은 아마 밖에 존재할때일거고 얘도 삼각함수 합성으로 갑니다만 기하적이 훨씬 어렵습니다 이것도 물론 해석기하겟지만..

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무슨 생각을 해 · 459847 · 14/08/05 11:07

아 문제를 더 보면 각각 PQ^2-(cosx PQ)^2=(sinxPQ)^2 이런식으로 나와서 애초에 직선과 법선벡터을 그대로 내적해도 되는거였네요 ㅋㅋ 근데 식정리하느라 바빠서 현장에서 이건 못봤네요

그리고 시험땐 직관을 쓰더라도 공부할때는 논리적으로 해야된다고 생각합니다.. 급하면 하던습관 나오겠지만... ㅠㅠ

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로빌 · 365897 · 14/08/05 23:57 · MS 2019

시험땐 직관이죠 뭐 근디 저기서 님이 a를 0로 논것도 직관이에요 그리고 직선과 법선을 내적한다기보단 벡터를 직선이 정사영햇을때 크기구할줄 아시몬 쉽게..가는거죠 그것도. 셤상황에서는뭐..;

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무슨 생각을 해 · 459847 · 14/08/06 10:53

a를 0으로 논것은 직관이 아닙니다.

a는 a^2+b^2+c^2=4에 의해 -2~2 의 값을 갖게되는데,
제가 저게 등식이었다면 저는 직관을 사용한거지만
저건 부등식, 즉 b^2+c^2이 범위로 나오니까, 저렇게 했다고해서 뭔가 비약이 있진 않네요

왜냐면 저 부등식은 a가 -2~2인 상황을 모두 포함하고 있잖아요? 그러니까 그냥 식을 다시 쓴거랑 다름이 없습니다.

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로빌 · 365897 · 14/08/06 19:05 · MS 2019

그리 생각햇지만 여러 수학선생님께 물어본결과 직관이랍니다 ㅎㅎ 뭐 본인의 만족에 끝내시면 뭐~전 알빠가아니라서..

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무슨 생각을 해 · 459847 · 14/08/06 20:49

a^2+b^2+c^2=<4는 반지름이 2인 구위와 안의 모든 점을 표현하는 부분입니다.
내가 무슨 a=0인 평면만고려한것도아니고, a가 애초에 답에 관련이없어서 b,c만 고려하겠다는데
여러 수학선생님들이 잘못생각하신듯요

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로빌 · 365897 · 14/08/07 00:03 · MS 2019

..ㅋㅋㅋㅋㅋ훌륭하세요..설대 수학교육과 수학과 대학원나온분보다 더 뛰어나신 문풀능력을 갖고계신듯 다음과 같이 설케즘하는이유는 이하생략

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