수2 볼록성에 대해서 질문좀 할게요..

Question

한완수 공부하고 있는데요.. 볼록성을 나타내는 식들이 필요충분조건이 아닌건 알겠는데요. 문제를 풀다 보니까 의문점이 생겨서 질문합니다

다항함수 f(x) 에 대해서 ∫(0,1)f(x)dx >= {f((0+1)/2)} (1-0) 이 성립할 때 이 함수가 꼭 아래로 볼록인 함수는 아니잖아요 반례가 생기니까요. 변곡점있는 함수그리면요
그럼 이 문제는 (0,1) 사이의 임의의 실수가 아니라 딱 두점만 정해져 있기 때문에 반례가 생긴다는 건가요??

그런데 다른문제를 보니까 특정범위안의, 또는 모든 실수 x,y에 대해서 저 위의 식이 성립한다거나 모든 실수 x,y 에 대해서 f(x+y/2)<=f(x)+f(y)/2 이런 식이 성립한다면요 이 f(x) 는 아래로 볼록인 함수거나 직선이라고 답지에 나와있네요 

그럼 단지 함수f(x) 에 대해서 저런 식이 성립한다는 문제와 모든 실수 x에 대해서 저위의 식이 성립한다는 문제는 다른건가요 ??? 아니면 맨 위의 문제는 임의의 실수가 아니라 딱 정해진 특정한 실수 0,1이라서 그런건가요?? 그러면 임의의 실수로 범위가 확장되면 아래로볼록을 나타내는 건가요?..
아니면 반례가 직선이라는건가요 ??       
너무 헷갈리네요 부탁드립니다 ㅠㅠ

예비성의생15학번 · Accepted Answer

후배님으로 오실분여기계시네ㅋㅋㅋㅋㅋ

수2 볼록성에 대해서 질문좀 할게요..

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