이진법
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이진법.pdf
안녕하세요, 개코입니다.
이 글은 타 커뮤니티에 제가 올린 글을 가져온 것입니다.
이번 주제는 최근 3개년 연속으로 수능에 출제된 '이진법'입니다.
1. 이진법이란?
이진법은 수의 체계입니다. 0과 1만을 이용하여 수를 나타내며, 십진법에서 101=10^2 +1, 110=10^2 +10^1 이듯이 이진법에서는 101=2^2 +1, 110=2^2 +2^1 을 나타냅니다.
구체적인 계산 방식이나 변환 방법은 구글을 찾아보십시오.
2. 이진법의 특징은?
I. 이진법은 수의 체계이다.
이진법은 수의 체계입니다. 이진법은 십진법과 같이 수의 체계입니다. 몇번씩이나 언급하는 이유는 이게 이번 칼럼의 내용의 거의 전부이기 때문입니다.
십진법과 마찬가지로, 이진법으로는 모든 수를 표현할 수 있으며, 하나의 수를 이진법으로 표현하는 방법은 유일합니다.
아무리 낯선 언어라도 한국어와 같이 한 문장에 주어와 서술어가 존재하듯이, 우리에게 익숙하지 않은 수체계인 이진법도 십진법과 같이 하나의 체계입니다.
II. 0과 1만으로 표현된 수이다.
이진법은 모든 수를 0과 1만으로 표현합니다. 이러한 단순성때문에 인간은 이진법을 메모리 장치 등의 여러 방면으로 사용합니다.
또한, 수능 문항을 이진법을 이용하여 출제하여도 수에 대한 감각이 좋다면 이진법에 대한 별다른 이해 없이도 문제를 해결할 수 있고, 체계가 단순하여 이진법에 대한 언급을 피하면서 해설할 수도 있습니다.
이진법 체계가 수능에 자주 출제된 이유는 이것으로 생각됩니다.
3. 이진법과 기출문제
십진법에서, 자연수 n에 대하여 함수
f_d(n)=10n, g_dk(n)=10n+k (k는 9 이하의 자연수입니다.)
라 합시다. 십진법에서 1730은
입니다.
이를 과정으로 설명하면, g_d7(1)=17, g_d3(17)=173, f_d(173)=1730입니다.
오른쪽에서 왼쪽으로 수를 하나씩 붙인다고 생각됩니다.
이와 같이, f_d는 십진법에서 n의 뒤에 0을, g_dk는 n의 뒤에 k를 붙이는 함수입니다.
십진법에서 자연수 n에 대하여 함수
f_b(n)=2n, g_b(n)=2n+1
이라 합시다. 십진법에서 15, 10은 각각
입니다.
한편, 이진법에서 f_b와 g_b는 각각 f_b(n)=10n, g_b(n)=10n+1입니다.
이진법에서 1111, 1010은 각각
입니다.
이와 같이, 이진법에서 f_b는 이진법에서 n의 뒤에 0을, g_b는 n의 뒤에 1을 붙이는 함수입니다.
어떤 자연수는 f_b 또는 g_b를 순서대로 합성한 함수에 1을 넣은 값이며, 이 순서는 자연수와 일대일대응입니다.
이는 이진법이 수의 체계인 것과 상통합니다.
이를 이용하여 아래의 문제를 풀어볼겁니다.
ex) 2020학년도 수능 나형 21번
스포주의) 아래에 풀이가 있습니다.
이 문항의 핵심은 (가)와 (나), 그리고 a_1의 값만으로 수열 a_n이 정의된다는 것입니다. 점화식을 이용하여 모든 n에 대한 수열의 값을 구할 수 있고, 구하는 과정은 모든 n에 대하여 유일합니다.
이는 이진법이 수의 체계인 것과 상통합니다.
평소에 계산할 때 9999=10^4 -1로 생각하여 계산하는 것처럼, 이진법의 감성으로 수가 전개되는 문제에서는 2^n -1 꼴의 수에 주목할 필요가 있습니다. 이 문항에서는 64-1=63이네요.
문항의 풀이입니다.
ex) 2021학년도 수능 가형 21번
이 문항은 위 문항의 변형문제 정도로 생각됩니다. 수열에 대하여 주어진 조건이 점화식임에 주목(->n=1 등의 예외 의심항을 대입)하여 풀면 쉽습니다. 풀이는 첨부파일을 참고해주세요.
아래는 2021학년도 수능특강 수학I 문항입니다.
위의 내용에 대한 이해가 되었다면 아래의 식으로 정의된 수열은 이진법에서 n의 1의 개수임을 쉽게 알 수 있습니다. 100이 2^6+2^5보다 크고 2^7보다 작으므로 조합을 이용하면 답을 쉽게 구할 수 있습니다.(7C2)
다른 내용으로 넘어갑시다.
맨 위에서 설명했듯이, 이진법은 2^n의 꼴로 나타난 수를 더하거나, 더하지 않는 식으로 수를 표현합니다.
9=10-1이고, 1=2-1입니다.
십진법에서 9999에서 10^4를 빼면 -1이고, 99990에서 10^5를 빼면 -10입니다.
같은 맥락으로, 이진법에서 1111에서 10^4를 빼면 -1이고, 11110에서 10^5를 빼면 -10입니다.
이에 대한 증명은 등비수열의 합을 이용하면 쉽습니다.
이를 이용하여 아래의 문제를 풀어봅시다.
ex) 2022학년도 수능 21번
스포주의) 아래에 풀이가 있습니다.
이 문항의 핵심은 (가), (나)를 만족하는 a_n 중에서 (다)를 만족시키는 a_1~a_10은 유일하다는 것입니다. 이진법은 체계이기 때문입니다.
이에 대한 직관이 있으면 문항에 손을 댈 때 확실히 덜 헤맸을 것입니다.
(개인적으로 이러한 문항(유일함이나 함수 관계의 파악이 핵심인 것)이 변별력이 좋다 생각하는데, 비슷한 문항으로는 21학년도 수능 가형 20번이 있습니다.)
나머지는 십진법의 14를 이진법의 1110으로 대하면 정답 상황이 바로 보이게 됩니다. 이진법을 사용하지 않는 풀이는 제 최근 게시글의 22수능 손풀이를 참고해주세요.
문항의 풀이입니다.
철 지난 테마라 생각될 수도 있지만 3년 내내 수능에 출제된 만큼 중요한 테마라 생각됩니다.
그냥 나열만 하면 다 풀리는 거 장황하게 설명하는 이유는 수학 문제 해결에 있어 유일함의 보장은 굉장한 힘이 되기 때문입니다.
어떻게든 문제를 푸는 것이 제일이지만 시험장에서 그 '어떻게든'을 확신하는 근거는 불확실성이 가득한 수능 당일 큰 힘이 됩니다.
이 글은 그러한 근거에 대한 설명 정도로 생각해주시면 되겠습니다. 학습에 도움이 되길 바랍니다.
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