이진법
게시글 주소: https://orbi.kr/00043396736
이진법.pdf
안녕하세요, 개코입니다.
이 글은 타 커뮤니티에 제가 올린 글을 가져온 것입니다.
이번 주제는 최근 3개년 연속으로 수능에 출제된 '이진법'입니다.
1. 이진법이란?
이진법은 수의 체계입니다. 0과 1만을 이용하여 수를 나타내며, 십진법에서 101=10^2 +1, 110=10^2 +10^1 이듯이 이진법에서는 101=2^2 +1, 110=2^2 +2^1 을 나타냅니다.
구체적인 계산 방식이나 변환 방법은 구글을 찾아보십시오.
2. 이진법의 특징은?
I. 이진법은 수의 체계이다.
이진법은 수의 체계입니다. 이진법은 십진법과 같이 수의 체계입니다. 몇번씩이나 언급하는 이유는 이게 이번 칼럼의 내용의 거의 전부이기 때문입니다.
십진법과 마찬가지로, 이진법으로는 모든 수를 표현할 수 있으며, 하나의 수를 이진법으로 표현하는 방법은 유일합니다.
아무리 낯선 언어라도 한국어와 같이 한 문장에 주어와 서술어가 존재하듯이, 우리에게 익숙하지 않은 수체계인 이진법도 십진법과 같이 하나의 체계입니다.
II. 0과 1만으로 표현된 수이다.
이진법은 모든 수를 0과 1만으로 표현합니다. 이러한 단순성때문에 인간은 이진법을 메모리 장치 등의 여러 방면으로 사용합니다.
또한, 수능 문항을 이진법을 이용하여 출제하여도 수에 대한 감각이 좋다면 이진법에 대한 별다른 이해 없이도 문제를 해결할 수 있고, 체계가 단순하여 이진법에 대한 언급을 피하면서 해설할 수도 있습니다.
이진법 체계가 수능에 자주 출제된 이유는 이것으로 생각됩니다.
3. 이진법과 기출문제
십진법에서, 자연수 n에 대하여 함수
f_d(n)=10n, g_dk(n)=10n+k (k는 9 이하의 자연수입니다.)
라 합시다. 십진법에서 1730은
입니다.
이를 과정으로 설명하면, g_d7(1)=17, g_d3(17)=173, f_d(173)=1730입니다.
오른쪽에서 왼쪽으로 수를 하나씩 붙인다고 생각됩니다.
이와 같이, f_d는 십진법에서 n의 뒤에 0을, g_dk는 n의 뒤에 k를 붙이는 함수입니다.
십진법에서 자연수 n에 대하여 함수
f_b(n)=2n, g_b(n)=2n+1
이라 합시다. 십진법에서 15, 10은 각각
입니다.
한편, 이진법에서 f_b와 g_b는 각각 f_b(n)=10n, g_b(n)=10n+1입니다.
이진법에서 1111, 1010은 각각
입니다.
이와 같이, 이진법에서 f_b는 이진법에서 n의 뒤에 0을, g_b는 n의 뒤에 1을 붙이는 함수입니다.
어떤 자연수는 f_b 또는 g_b를 순서대로 합성한 함수에 1을 넣은 값이며, 이 순서는 자연수와 일대일대응입니다.
이는 이진법이 수의 체계인 것과 상통합니다.
이를 이용하여 아래의 문제를 풀어볼겁니다.
ex) 2020학년도 수능 나형 21번
스포주의) 아래에 풀이가 있습니다.
이 문항의 핵심은 (가)와 (나), 그리고 a_1의 값만으로 수열 a_n이 정의된다는 것입니다. 점화식을 이용하여 모든 n에 대한 수열의 값을 구할 수 있고, 구하는 과정은 모든 n에 대하여 유일합니다.
이는 이진법이 수의 체계인 것과 상통합니다.
평소에 계산할 때 9999=10^4 -1로 생각하여 계산하는 것처럼, 이진법의 감성으로 수가 전개되는 문제에서는 2^n -1 꼴의 수에 주목할 필요가 있습니다. 이 문항에서는 64-1=63이네요.
문항의 풀이입니다.
ex) 2021학년도 수능 가형 21번
이 문항은 위 문항의 변형문제 정도로 생각됩니다. 수열에 대하여 주어진 조건이 점화식임에 주목(->n=1 등의 예외 의심항을 대입)하여 풀면 쉽습니다. 풀이는 첨부파일을 참고해주세요.
아래는 2021학년도 수능특강 수학I 문항입니다.
위의 내용에 대한 이해가 되었다면 아래의 식으로 정의된 수열은 이진법에서 n의 1의 개수임을 쉽게 알 수 있습니다. 100이 2^6+2^5보다 크고 2^7보다 작으므로 조합을 이용하면 답을 쉽게 구할 수 있습니다.(7C2)
다른 내용으로 넘어갑시다.
맨 위에서 설명했듯이, 이진법은 2^n의 꼴로 나타난 수를 더하거나, 더하지 않는 식으로 수를 표현합니다.
9=10-1이고, 1=2-1입니다.
십진법에서 9999에서 10^4를 빼면 -1이고, 99990에서 10^5를 빼면 -10입니다.
같은 맥락으로, 이진법에서 1111에서 10^4를 빼면 -1이고, 11110에서 10^5를 빼면 -10입니다.
이에 대한 증명은 등비수열의 합을 이용하면 쉽습니다.
이를 이용하여 아래의 문제를 풀어봅시다.
ex) 2022학년도 수능 21번
스포주의) 아래에 풀이가 있습니다.
이 문항의 핵심은 (가), (나)를 만족하는 a_n 중에서 (다)를 만족시키는 a_1~a_10은 유일하다는 것입니다. 이진법은 체계이기 때문입니다.
이에 대한 직관이 있으면 문항에 손을 댈 때 확실히 덜 헤맸을 것입니다.
(개인적으로 이러한 문항(유일함이나 함수 관계의 파악이 핵심인 것)이 변별력이 좋다 생각하는데, 비슷한 문항으로는 21학년도 수능 가형 20번이 있습니다.)
나머지는 십진법의 14를 이진법의 1110으로 대하면 정답 상황이 바로 보이게 됩니다. 이진법을 사용하지 않는 풀이는 제 최근 게시글의 22수능 손풀이를 참고해주세요.
문항의 풀이입니다.
철 지난 테마라 생각될 수도 있지만 3년 내내 수능에 출제된 만큼 중요한 테마라 생각됩니다.
그냥 나열만 하면 다 풀리는 거 장황하게 설명하는 이유는 수학 문제 해결에 있어 유일함의 보장은 굉장한 힘이 되기 때문입니다.
어떻게든 문제를 푸는 것이 제일이지만 시험장에서 그 '어떻게든'을 확신하는 근거는 불확실성이 가득한 수능 당일 큰 힘이 됩니다.
이 글은 그러한 근거에 대한 설명 정도로 생각해주시면 되겠습니다. 학습에 도움이 되길 바랍니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
그냥 강사 모의고사 이것저것 다 풀어봐야 하는거임? 꼭 풀어봐야하는거 있나
-
ㄷ 선지도 참 아닌가요?? 광자땜에 흔들리는거면 물체와 관찰자(반사된 광자가 관찰자...
-
얼버기 2
슈퍼레전드얼버기.
-
주인 잃은 레어 1개의 경매가 곧 시작됩니다. 힉스 입자"히이이익! 말로만 듣던...
-
68년만에 대한약사회 심볼이 전면 리뉴얼될 예정인데요..!! 위의 이미지가 기존...
-
이젠 진짜 시작해야하겟지.. 너무 하기 싫다 증말. 초등학교 교제로 하라고하면...
-
진짜 체감상 강k보다 어려운 거 같은데
-
분명 딴거 신청했었는데 키 크다고 상하차 시켰어요. 덥고 힘들고 이게 돈을 버는일은...
-
사는 동네에 수능 시험장이 하나밖에 없는데 그게 우리학교임
-
버리고싶다 기다리는데 너무 심심함..
-
커피 먹고싶다 9
호로록 짭짭
-
기하 vs 미적 0
기하랑 미적은 취향이나 더 잘 맞는걸로 선택하면 되는건가요?
-
독서파트 상변화 메모리의 원리 지문에서 리셋: 융융점이상의 온도로 가열 셋:...
-
이번 수능 100일동안 공부해서 3합 12 현역 맞출 수 있을까요 아무리...
-
막전위 근수축 유전 ㄹㅇ스토쿠?하는 느낌이라서 개 재밌는데 시험장에서 한다고...
-
시대인재감성
-
김승리 강의를 듣는데 실전연습때문에 현강을 다니게 됐다가 6평 분석을 다시 해보고...
-
영어가 변별기능을 상실하니 국어 수학 탐구에 요구되는 변별 수준이 높아지고 그...
-
아니 그거 근육 개많아야 근육껴서 팔 벌리고 걷는것 처럼 보이는거지 이 멸치들은...
-
선택 과목 자료는 파일 크기가 커서 링크로 대체합니다. 3개년 평가원 + 교육청...
-
돈 보내줬는데 물건을 안보낸다고 함 ㅋㅋ 민법 실전 가야겠지..?
-
6평전에 개념기출 다끝내고 거의 두 달동안 유기해서 기억이 하나도 안나네 ㅋㅋㅋㅋㅋ
-
미적 4점 다날린다면 확통가서 1,2개 틀리는게 더 낫나요? 1
미적이었다가 확통을 왔는데 만점까진 아니어도 확통 1개 어쩌다간 2개도 틀리는데...
-
과탐 과외는 작년에 수능 본 사람이나 전문 과외 하는 사람한테만 시키세요.. 과외...
-
미분 가능 조건을 도함수는 연속이다로 치환해서 풀었는데 어제 밤엔 무슨 바람이...
-
이감, 상상, 바탕, 한수 모의고사 사설 모의고사 바탕 본바탕, 시대인재 커넥텀,...
-
수학 점수 올리는 과정은 개념을 더 뚜렷하게 하는 것도 중요하지만 계산과정을...
-
생각의 속도 5
높이기
-
천천히 읽어보니까 되게 철학적인 메시지를 주는 좋은 글이네요.... (그치만 작수때...
-
더프리미엄이나 이투스 같은거 볼 수 았는곳이 없을까요 ㅠ 외부생으로 응시하고 싶어서요
-
다들어케하시나요 과목편식이너무심해서지금 고민임
-
고1이고 모의고사를 풀때 지문을 처음부터 끝까지 다 읽어요. 끝까지 읽지 않아도...
-
대입때문에 연기하려고 하는데 모의고사 접수일은 어떻게 하셨어요?? 학원에 물어봐도 모르겠다고함..
-
의사 파업 이후로 20대 후반~30대 초반 의대생들 과외 구하는 거 엄청 많이...
-
올해 2025 오지훈T N제(실전문제풀이) 풀어보신분 계신가요 0
작년 교재에 비해서 새로운 문제 많나요? 작년에 풀었는데 이번에 재탕 많으면 다른거...
-
현재 재수생이고 재종수업 듣다가 갈수록 별로여서 드랍하고, 주변 사람들이...
-
개냠 기출 무한 뺑뺑이 하면 2이상인데 외않헤?? 튜과목러 파이팅이다
-
일단 카투사 결과 보구....정 안되면 내년에 공군 가던가 졸업하고 의무로 가던가...
-
심찬우 교재 1
심찬우 책 품절이라는데 이제 못사는거임?
-
증원 안된 의대는 영향없음? 학번당 학생수로 보는게 아니고 수업듣는 학년당 학생수로...
-
"유급 안 시킬게" 읍소에도 강의실 텅텅… 의대생이 안 돌아오는 이유 3
"지금이라도 수업에 복귀만 하면 유급 걱정 없이 원활히 학업을 이어갈 수 있을...
-
경찰청장 후보자 "아들 의경 간 것 몰랐다…상의 안해" 5
조지호 경찰청장 후보자가 29일 자신의 아들을 둘러싼 의무경찰(의경) 복무 특혜...
-
지금 생각해 놓은 커리는 메카니카 역학편 2025 2회독 메카니카 비역학편 2025...
-
머 말도 안대네 에바임
-
문장 '하명 하옵소서'에서 선어말 어미의 개수는 ( )이다.
-
여름이라 에어컨 틀어주는데 입구쪽에 있어서 누구나 온도 조절할 수 있음.. 24도도...
-
오늘도 늦버기 0
ㅁㅌㅊ
-
고2 여학생인데 1학년때보다 2학년 때 성적이 1등급 떨어졌는데 (좀 많이 낮긴...
-
새기분 듣고 있는데 이감 재작 지문 나오면 왤케 급 홍보모델로 변하네 ㅋㅋ 구ㅏ여웡 민철이
-
[단독] 백혈병 앓던 고3 수험생, 3년 만에 기부자로 돌아와 8
서울아산병원 ‘햇살나무’ 의료진에 전달된 장연호씨의 특별한 기부금 최근 서울아산병원...
이분 모밴임?