제로콜라 [408120] · MS 2017 · 쪽지

2022-01-15 11:31:43
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고인물의 삼차함수 성질 활용법, 직선과 연립시 근의 합은 일정하다.

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오늘은 삼차함수 성질 하나 소개해드립니다. 위 그림에서 교점 (-2, -6)의 좌표를 알면 접점 (1, 0)의 좌표를 "미분 없이", "암산으로 보자마자" 구할 수 있습니다.


 



우선 삼차방정식의 근과 계수의 관계 확인해볼게요.

ax³+bx²+cx+d=0의 세 근을 α, β, γ라 하면 a(x-α)(x-β)(x-γ)로 인수분해가 됩니다.

전개해서 이차항의 계수를 비교해보면 세 근의 합은 α+β+γ= -b/a가 됩니다.

 




그렇다면 방정식 x³+x²+ax+b=0 즉, 삼차함수와 x축(y=0)의 교점을 살펴볼게요.

두 개의 교점의 x좌표가 0, 1로 주어졌다면 합이 3이어야하므로 나머지 하나의 교점의 x좌표는 2임을 알 수 있습니다.

 




방정식 x³+x²+ax+b=2 즉, 삼차함수와 y=2의 교점을 살펴볼게요.

이번에는 접점 1개, 교점 1개 생긴다고 할게요. 접점의 x좌표가 0으로 주어졌다면 0이 중근이 되고

모든 근의 합이 3이므로 나머지 하나의 근은 3이 됨을 알 수 있습니다.

 


방정식 x³+x²+ax+b=n 에서 n이 바뀌더라도 즉, 왼쪽 그림에서 직선 y=n이 움직이더라도 세 근의 합은 3으로 일정함을 알 수 있습니다. 왜냐하면 n이 바뀌면 상수항만 바뀔 뿐이지 세 근의 합 α+β+γ 에서 최고차항과 이차항의 계수는 바뀌지 않거든요. 이따가 이 내용을 한 단계 업그레이드 하도록 하겠습니다.




잠시 다른 이야기를 할게요. 삼차함수는 대칭성이 있습니다.점대칭이죠.

그 점을 기준으로 180도 회전하면 원래랑 같다는 뜻입니다.

극대, 극소가 있는 경우는 극대점과 극소점의 중점이 대칭 기준점이 됩니다.

(미적분을 배운 학생이라면 삼차함수의 대칭 기준점이 바로 삼차함수의 변곡점이 됨을 알고 계셔야 합니다.)



 




자 그렇다면 아까 빨간 직선 y=n을 잘 조정해서 대칭 기준 점을 지난다고 해볼게요.

이때 세 근 α, β, γ에서 α, γ는 대칭성에 의해 β까지의 거리가 같습니다. 거리를 △라 하면

α=β-△, γ=β+△라 할 수 있고 세 근의 합 (β-△)+β+(β+△) = 3β이 3이므로 β=1입니다.

즉 세 근의 합을 3으로 나눈 값이 변곡점(대칭의 기준이 되는 점)의 x좌표입니다.



 




아까 했던 내용 업그레이드 버전입니다.y=n이 아닌 y=mx+n으로 바꾸어서 m, n의 값이 변하는 상황을 생각해봅시다.

즉 삼차함수와 임의의 직선을 생각해보는 것이죠. 이 경우에도 최고차항 계수와 이차항의 계수는 변하지 않으므로 세 근의 합은 일정함을 알 수 있습니다.



 




그렇다면 접하는 경우를 생각해봅시다. 접점의 x좌표를 0으로 주었다면 세 근의 합이 3이므로 나머지 한 교점의 x좌표는 자동으로 3임을 알 수 있습니다.

이제 배운 내용을 기출 문제에 적용해봅시다.



 





(가) 조건에 의해 f(x)=0은 중근을 가짐을 알 수 있습니다. 중근을 α라하면

f(x)=a(x-α)²(x-β)입니다.

(나) 조건에서 x=α 또는 x=β를 f(x-f(x))=0에 대입해보면

f(α-f(α))=f(α-0)=f(α)=0이므로 근이 됨을 알 수 있습니다. 그런데 서로 다른 실근의 개수가 3이라 했으므로 하나가 더 있습니다.

f(x)=0의 근이 x=α 또는 x=β이므로 f(x-f(x))=0의 근은 x-f(x)=α 또는 x-f(x)=β인 경우입니다.

다르게 표현하면 f(x)=x-α, f(x)=x-β이므로 y=f(x)의 그래프와 직선 y=x-α, y=x-β의 서로 다른 교점의 개수가 3개입니다.



 




최고차항 계수가 양수인지 음수인지 언급이 없다면 둘 다 생각해주어야합니다.

(별 다른 언급이 없다면 음수인 경우를 의심해봐야합니다.)

a가 양수일 때, α, β의 대소관계에 따라 왼쪽(극대점에서 x축이 접하는 경우)과 오른쪽(극소점에서 x축이 접하는 경우)이 있습니다.

왼쪽 그림에서 f(x)=x-α는 3개의 교점을 갖고 f(x)=x-β는 3개 또는 2개(x=β에서 접선인 경우 2 개)를 가집니다. 적어도 5개의 교점을 가지므로 (나) 조건을 만족하지 않습니다.

오른쪽 그림도 마찬가지입니다. 적어도 5개의 교점을 갖습니다.



 




a가 음수인 경우를 볼게요. α가 β보다 큰 왼쪽부터 보겠습니다.

문제에서 f'(1)=1이라 했는데 y=x-α의 기울기가 1임을 생각하면 x=1로 가능한 지점이 주황색으로 표시된 두개까지 가능합니다.

(점대칭이므로 2개까지 가능, 변곡점에서 미분계수가 1이면 1개 가능)

그런데 두 점 모두 x축 아래에 있으므로 f(1)=4라는 조건에 모순입니다.



 





따라서 오른쪽 그림이 정답 경우입니다.

y=x-β 직선은 교점이 1개입니다. y=x-α는 (α, 0)이 무조건 교점이 되므로 다르 교점은 1개만 있어야하므로 접선입니다.

그런데 여기서 f'(1)=1에서 기울기가 1이고 f(1)=4에서 (1, 4)를 지나는 직선 y=x+3이 y=f(x)의 접선임을 눈치챌 수 있습니다.

(g(x)=f(x)-(x+3)이라 하면 g(1)=0, g'(1)=0 이므로 g(x)=0은 x=1을 중근으로 갖습니다. 따라서 y=f(x) 곡선에서 x=1에서 그은 접선이 y=x+3입니다.)

 









아까 빨간 직선 y=x-α도 기울기가 1이었던 것 기억해두시고요.

f'(1)=1에서 미분계수 1되는 지점으로 가능한 곳이 주황색으로 표시된 두개까지 가능하다고 말씀드렸죠.

왼쪽 점이 x=1이면 그 점에서 그은 접선이 y=x+3이 됩니다. 그런데 x=1 왼쪽에서 미분계수가 1보다 무조건 작습니다.(대칭 기준 점 왼쪽으로 갈수록 미분계수가 작아집니다.) 따라서 f'(0)>1이라는 조건에 모순입니다.



 





따라서 오른쪽 주황색 점이 x=1이고요, 이 주황색 접선 y=x+3이 아까 빨간색 접선 y=x-α과 일치하게 됩니다. 따라서 α=-3입니다.

오늘 내용을 이용하여 β값을 구해봅시다.

방정식 f(x)=x+3과 방정식 f(x)=0의 실근의 합은 같습니다.

f(x)=x+3은 근이 x=-3, 1(중근)이므로 -3+1+1이고

f(x)=0은 근이 x=-3(중근), β이므로 -3-3+β입니다. 둘이 같아야 하므로 β=5입니다.


따라서 f(x)=a(x+3)²(x-5)이죠. (지난 글을 보셨다면 f(x) 식 세우지 않고 f(1), f(0)을 구하여 답을 낼 수 있습니다.) f(1)=-64a=4이므로 a=-1/16입니다.

f(0)=-45a=45/16이므로 p+q=61이 됩니다.


봐주셔서 감사합니다.


 





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