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VT_솔로깡 [330158] · 쪽지

2014-02-02 10:12:19
조회수 4,117

[수리논술기행] 2. 수리논술과 논증, 연계구조 - 1

게시글 주소: https://orbi.kr/0004299424

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첨부파일1_수정본.pdf

본 글을 읽으면서, 첨부된 pdf파일을 프린트하셔서 보시는 것을 추천드립니다.
pdf파일에 첨부된 문제를 풀어보시는 것이 중요합니다.
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안녕하세요, 솔로깡입니다.
논술 관련 칼럼은 작년에도 많이 썼고, 자료 모음집도 무료로 배포한 적이 있지만 이렇게 정리된 형태로 차근차근 써가는 것은 처음이네요. 잘 부탁드립니다.

요즘 시기에 오르비에 학습 관련 칼럼을 써서 올린다는 것은 곧 저조한 조회수와 무관심이라는 것으로 결국 끝나버리지만, 단 한분이라도 제 글을 보시고 도움을 받으신다면 그런 것 쯤은 상관없습니다. 아무쪼록 제 글을 읽고 많은 도움이 되었으면 좋겠습니다.

이번 글은 두가지 주제에 대해서 다루어 보겠습니다.
첫번째로, 논리적인 논증에 대해서 다룰 것이며, 두번째로는 논술 자체의 특성인 [연계구조]라는 것에 대해 살펴보겠습니다.

보통 수리논술을 배울 때 ‘문제를 푼다,’는 수능적인 행위에 집중한 나머지 ‘치밀하게 서술한다,’는 행위에 관해서는 신경을 쓰지 않는 경우가 많습니다. 물론, 주어진 논제를 기발한 방법을 통하여 푸는 것도 중요합니다만, 이를 논리적으로 [오류 없이 잘] 서술하는 것 또한 수리논술에서 중요한 요소입니다. 이러한 점에서 수리논술과 수능은 차이점을 보이게 됩니다.

본 칼럼은 개념을 익히거나, 새로운 것을 익히기 위한 취지는 아닙니다. 다만, 여러분들이 알고 있는 교과서적 지식을 어떻게 잘 서술해 나갈지 방법론적인 방향을 제시해 주는 지침일 뿐입니다. 논증을 하는 방법과 가이드는 앞으로 작성하게 될 칼럼들에서 제시되겠지만, 이를 모의논술에서 연습하고 실전에 적용하는 것은 수험생 본인이 할 일입니다. 다소 무책임하게 들리시겠지만, 모든 공부가 그러하듯 결국 공부는 자신이 습득하는 것입니다. 학습이라는 것이 [學]과 [習]으로 이루어져 있고, [習]에 해당하는 부분은 그 누구도 도와줄 수 없는 부분입니다.

그리하여, 본 글을 참고하시는 여러분들께서는 칼럼 시리즈들만 의존하지 마시고, 오르비 사이트에 제가 업로드 해놓은 ‘수리논술 나침반’ 최초 판부터 올해 신판까지 모든 파일을 다운받으시고 자신이 올해 지원하게 될 학교의 논제를 프린트하셔서 풀어보시면 되겠습니다. 혹은, 개인적인 교재가 있다면 그 교재를 사용하셔도 좋습니다.

사실, 논리적으로 결함 없는 답안을 작성하는 것이 그리 쉬운 것은 아닙니다. 하지만, 논제를 논리적으로 증명하기 위한 과정을 최대한 답안에 드러내어 준다면 더욱 좋은 인상을 비롯하여, 단순히 그래프 몇 개 그리고 “이 외의 경우는 존재하지 않는다”와 같은 증명하기 어려운 명제를 던져놓은 학생보다는 명백히 좋은 점수를 받을 수 있게 될 것입니다.

여러분들도 한번 생각해보시기 바랍니다. 수학적으로 논리관계를 엄격하게 이용하여 치밀한 논리를 전개한 학생과, 그래프를 통하여 “이 그림이 이렇게 그려지므로 이런 결론을 도출할 수 있다.” 는 답안 하나만을 작성한 학생, 누구에게 더 좋은 점수를 주실 것인가요?

제가 채점관이라면 전자의 학생에게 더 후한 점수를 줄 것 같습니다. 후자의 경우 “당신이 그린 그래프 이외의 경우가 존재할 수 있지 않느냐?”에 대한 대답은 하지 않았기에 “논리적 허점”이 발생하기 때문이죠. 매의 눈을 가지신 채점위원 교수님들께 이런 사소한 결점은 감점요인으로 보인다는 사실을 염두해 두시기 바랍니다. 특히, 논제가 쉬우면 쉬울수록 “풀이방법”보다는 “치밀한 논리전개”가 더욱 중요시 된다는 사실을 잊으시면 안됩니다. 문제가 쉬워서 거의 대부분이 풀어내었다면, 결국 점수는 “논리 허점에 의한 감점”이 좌우하게 될 테니까요.

사실 "수리논술은 채점관에 따라서 매우 주관적으로 점수가 바뀔 수 있다"는 생각은 매우 판에 박힌 고정관념입니다. 수리논술 채점과정은 그 누구보다 객관적입니다. 한양대학교를 비롯한 수많은 학교들의 채점기준을 보면 "당연히 그런 과정을 거쳐야 점수를 받게 된다는 것"을 합당하게 납득할 수 있습니다. "평균값의 정리를 증명하기 위해서는 롤의 정리를 거쳐야 한다"는 것을 고교 과정에서는 정당하게 받아들일 수 있듯, 논술 또한 채점 기준으로 "평균값의 정리를, 제시문에 주어진 롤의 정리를 이용하여 정당하게 증명하였는가?"를 제시합니다. 만약 롤의 정리를 이용하여 평균값의 정리를 증명해 내었음에도 좋은 점수를 받지 못하였다면, 자신의 증명과정에 논리적 결함이 있었거나 채점관이 실수를 했거나 둘 중 하나입니다. 논술은 결코 채점관의 자유의지에 따라 점수가 달라지는 시험이 아니라는 점을 확실히 하셔야 합니다.

구체적인 논증법에 관한 사례는 이번 칼럼에서 다루기에는 너무 무겁고 버거운 주제라고 생각됩니다. 바로 다음 칼럼에서 작성하기로 하겠습니다. 다만, 이번에는 [연계구조]라는 것에 대해서 조금 자세히 알아보도록 하겠습니다. 이 [연계구조]라는 것은 다소 중요하기에 두개 혹은 세 개의 칼럼으로 나뉘어서 작성할 예정입니다.

수리논술의 가장 큰 특징은 "연계구조"라는 것입니다. 보통, 수리논술문제를 보면 큰 논제 1번에 작은 논제 1,2,3,4 등으로 나뉘어있지요. [1-1], [1-2], .... 이런 형식으로 말입니다.

수리 논술은 고등학교 학생들이 아무 힌트 없이 풀어내기에는 많이 어렵습니다.
하지만, 이 말은 곧 "고등학교 학생들이 풀어내기 위해서는 문제 안에 힌트를 주어야 한다"는 것입니다.
이 힌트가 되는 것이 "바로 전 문제"입니다.

즉, [1-1]은 매우 쉬운 문제로 출제하고, [1-2]는 [1-1]을 풀기 위해 사용되었던 아이디어의 확장이거나 [1-1]을 전제로 하여 새로운 논제를 증명해야 하는 형식이죠.

감이 잘 안잡히시나요? 그렇다면 직접 논제를 보도록 하겠습니다. 이 다음부터는 그림으로 설명이 진행되니, 글씨체가 바뀔 것 같습니다. (오르비에서 수식 타이핑은 아직 익숙하지가 않네요.)

(그림으로 논제를 붙여넣겠으나, 컴퓨터 화면을 보면서 문제를 푸시는 것이 익숙하지 않은 분들을 위하여 첨부파일을 같이 업로드 하였습니다. 프린트하셔서 보시면 편할 것입니다.)




(반드시 문제를 풀어보시기 바랍니다. 꼭 풀리지 않아도 좋으니, 풀기 위해 시도라도 해보세요.)

풀어보셨나요? 생각보다 그리 어렵지는 않았으리라 생각합니다. 생소하긴 하지만요.
만약 어려웠다고 해도 상관없습니다. 아직 우리에게는 익숙해질 충분한 시간이 남아있습니다. 제가 앞으로 공개할 문제들만 해도 약 300~400문제의 논제들이 준비되어있는데 벌써부터 좌절하시면 곤란하죠.
이 많은 논제들을 차근차근 정복하면서 몇 개월 내로 우리들은 논술에 친숙해 질 겁니다. 지금부터 걱정하시거나 좌절할 필요는 전혀 없을 겁니다.

이 문제의 모범 답안을 한 번 보시죠. (첨부 파일에 역시 첨부되어 있습니다.)













자, 이제 한번 보시죠. 1번 논제가 수열 증명의 핵심인 "수학적 귀납법"에 의해 증명된다는 것을 간파하는 것은 그리 어려운 일이 아닙니다. 애초에 수열 증명은 99.9999%가 수학적 귀납법에 의해 증명될 것이고, 그 코드에서 크게 벗어날 일은 없으니까요.

하지만, 문제 2번은 어떻게 해결해야 할까요? 모범답안을 보면 알 수 있듯이, 1)번 논제를 이용하여 새로운 식을 유도, 주어진 논제를 해결하게 됩니다. 즉, 1)번 논제에서 푼 내용이나 그 결과가 2)번, 혹은 그 다음의 논제를 푸는데 큰 힌트가 될 수 있다는 것입니다.

수리논술은 매우 치밀한 힌트들로 이루어져 있습니다. 단어 하나하나가 힌트가 되며, 그 전의 문제는 이번 문제를 풀기 위한 힌트가 숨어있을 확률이 100%입니다.

한 사례로 일반화한다는 생각을 하실 수도 있겠습니다만, 그렇다면 연세대학교 문제들을 2014학년도부터 2007학년도까지 모두 살펴보십시오. 제가 여태것 보아왔던 2007~2014학년도의 전국 60여개 대학의 모든 수리논술 문제는 단 하나의 예외 없이 "연계성 구조"로 이루어져 있습니다. 전 문제가 다음 문제를 푸는데 큰 힌트가 됩니다.

그러므로, 수리논술에 입문하시는 여러분들은 [문제에서 힌트를 뽑아내는 연습]과 [전 문제에서 뽑아낸 힌트를 다음 문제를 푸는데 적용하는 연습]을 하셔야 겠습니다.

연습을 위해 생소한 문제를 첨부하겠습니다. 아마 처음 보는 문제일 확률이 높을겁니다.
새로운 문제로 이러한 연계구조를 직접 체험해 보시기 바랍니다. 문제 난이도는 그리 높지 않습니다.
(연습문제는 파일로도 첨부되어 있습니다.)




풀어보셨나요? 그럼 이제 해답을 보시죠.
자신이 수리논술 특유의 연계구조를 이용하여 잘 풀어내었는지 점검해보시기 바랍니다.

(본 답안의 경우 논리적 흐름만을 서술했습니다.)












긴 글 읽느라 수고하셨습니다. 다음 글로 곧 뵙겠습니다.
다음 글도 연계구조에 관한 내용을 다룰 것입니다.


p.s. 본 글의 내용은 Project VT 에 의해 작성된 글입니다. 무단 복사, 배포를 자제해주시기 바랍니다.
p.s.2. 자료 내부 오타 발견으로 파일 수정했습니다. 다시 다운받아주시면 됩니다.

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