한완수 적통(상) 삼차함수(변곡점)증명질문 !

Question

제목이 애매한데삼차함수를 하나의 직선이 지나고그직선과 삼차함수로 둘러쌓인 부분2개의 넓이가 같으면->직선이 삼차함수의 변곡점을 지난다를 말씀드린거에요 그래서 F(x)-G(x)=(x-a)(x-b)(x-c)라고 무식하게 두고 그냥 적분해서 해볼려고했는데 너무 복잡해져서....c를 0이라고 두고 우선 적분해서 된다라는식으로 증명했는뎆정확한증명과정을 모르겠네요 ㅜㅜ 혹시가르쳐주실분안계시나요

NSPKT · Accepted Answer

삼차함수를 그렇게 두고 적분하는게 싫으시다면, 다른방법을 이용해 보면 되죠.
저는 도함수의 정적분값이 원함수의 변화량과 같음을 이용해볼께요.
일단 어떤 삼차함수를 f(x)라 두고 그 삼차함수를 지나는 어떤 직선을 g(x)라고 놓고,
f(x)와 g(x)로 둘러싸이는 부분이 2개니까 f(x)와 g(x)의 교점은 3개일꺼고
그러면 님이 하신대로 f(x)-g(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=h(x)(편의상 최고차항계수는 1)라고 놓을게요.
그다음에 둘러싸인 2개의 부분의 넓이를 각각 L1,L2라고 하고
그다음에 h(x)의 부정적분을 하나 생각해봐요.
선대칭인 사차함수가 나오겠죠?? L1=L2니까요.
그러면 그 선대칭인 사차함수를 여러가지 방식으로 표현이 가능하겠지만 
여기서는 H(x)=1/4(x-a)^2(x-c)^2+c(H'(x)=h(x))라고 표현할게요.
H(x)는 h(x)의 부정적분중 하나이므로 미분하면 h(x)가 되겠죠?
미분 해보시면 H'(x)=1/4곱하기2(x-a)(x-c)(2x-a-c)가 나와요
계수정리해주시면 H'(x)=(x-a)(x-(a+c)/2)(x-c)가 되요 
H'(x)=h(x)니까 b=(a+c)/2가 되네요.
우리가 증명하고자 하는건 직선과 삼차함수가 만나는 세점중에 삼차함수의 변곡점이 존재하냐이죠?
조건을 만족하는 삼차함수와 직선의 세 교점의 x좌표는 등차수열을 이룬다는것을 위의 과정의 통해서 알았죠? 그러면 이제 변곡점의 좌표를 비교해야 되니까 처음에 설정했던 h(x)=(x-a)(x-b)(x-c)의 변곡점의 x좌표를 2번미분해서 구해보면 a+b+c/3이 되고, 이 h(x)라는 함수는 b=a+c/2를 만족하는 함수이므로b=a+c/2를 대입해보면 변곡점의 x좌표는 a+b+c/3=a+c/2라고 할수 있는거죠?
주어진조건을 만족하는 함수의 변곡점의 x좌표가 a+c/2라는 사실이 밝혀졌고, 그다음에 다른방식으로 설정했던(부정적분을 미분해서 나온)h(x)는 h(x)=(x-a)(x-(a+c)/2)(x-c)니까 h(x)는 (a+c/2,0)을 지나네요?  h(x)의 변곡점의 x좌표는 a+c/2인데 h(x)가 (a+c/2,0)을 지난다는 사실을 밝혔네요.
h(a+c/2)=f(a+c/2)-g(a+c/2)=0 이므로 주어진 직선g(x) 는 삼차함수 f(x)의 변곡점(a+c/2,f(a+c/2))을 지나네요.아시겠지만 혹시나해서 왜 f(x)의 변곡점의 x좌표가 a+c/2냐고 물으신다면,f(x)=h(x)+g(x)인데 삼차함수의 변곡점의 x좌표는 일차함수를 빼거나 더한다고 해서 변하지 않자나요? 그러므로 증명끝. 
증명의 핵심아이디어는 1.정적분값이 원함수의 변화량과 같다.2.조건을 만족하는 4차함수를 어떻게 표현할것인가.에요 그림으로 그려서 설명하면 훨씬 쉬운데.. 말로 풀어서 설명하려니까.. 더 어려운거같네요..그리고 정확한 증명이란 딱히 유일하게 존재하는게 아니에요. 님이 정확한 논리를 통해 증명했다면 그게 님한테 정확한 증명이에요.

한완수 적통(상) 삼차함수(변곡점)증명질문 !

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