매우매우 느슨하게 말해서, 대충 우리가 생각하는 대로 덧셈과 곱셈이 잘 작동하는 수학적인 구조를 체라고 합니다. (ex. 덧셈/곱셈의 교환법칙, 덧셈/곱셈의 결합법칙, 분배법칙, 덧셈/곱셈에 대한 항등원, 역원의 존재) 유리수, 실수, 복소수가 대표적인 체의 예시이고, 해석개론의 주된 관심사는 실수의 성질입니다.

1. 상한, 하한

1.1. 순서

어떤 수가 다른 수보다 ‘크다’라고 말하는 것은 어떤 의미일까요? 좀 더 확장해서, 어떤 집합에 ‘순서’를 준다는 것은 어떤 의미일까요? 어떤 집합 S의 원소들 사이에 >라는 관계(relation)가 주어져 있을 때 다음 성질을 만족하면 우리는 >를 strict partial order라고 합니다. (그럼 관계는 또 뭐냐? 라고 하면… 이건 대충 넘어갑시다)

1) a>a인 a∈S는 없음

2) 임의의 a, b, c∈S에 대해 a>b이고 b>c이면 a>c.

그리고 strict partial order >가 다음 3번째 조건까지 만족할 때 우리는 >를 strict total order라고 합니다.

3) 임의의 a, b∈S에 대해 a=b, a>b, b>a 중 오직 하나만 참

그러니 우리가 일상적으로 실수의 대수비교에 쓰는 >는 strict total order였습니다.

편의를 위해, >과 함께 <, ≤, ≥의 기호도 우리가 생각하는 그 의미 그대로 사용합시다.

1.2. 순서체(ordered field)

strict total order <가 주어진 field F가 다음 성질을 만족할 때 F를 ordered field(순서체)라고 합니다.

1) 임의의 a, b, c∈F에 대해 a<b이면 a+c<b+c.

2) 임의의 a, b∈F에 대해 a>0, b>0이면 ab>0.

(양수 전체의 집합 P를 이용한 동치인 정의가 위키에 나와있습니다.)

실수체에 우리가 아는 순서 >를 주면 ordered field가 됨은 쉽게 확인할 수 있습니다.

1.3. 유계(bounded)

ordered field F의 부분집합 S가 bounded above(위로 유계: 위로 막혀있다)라는 것은, 어떤 원소 β∈F가 존재하여 [모든 x∈S에 대해 x≤β]라는 것입니다. 이때 β를 S의 upper bound(상계)라고 합니다. 부등호 방향을 반대로 하여 bounded below(아래로 유계: 아래로 막혀있다)와 lower bound(하계)를 정의합니다. 마지막으로 S가 bounded above and bounded below일 때 S는 bounded(유계)라고 합니다.

1.4. 상한, 하한

실수체의 부분집합 [0, 1]의 최댓값은 1로 존재하지만, [0, 1)에는 최댓값이 없지요. bounded above이지만 최댓값을 포함하고 있지는 않습니다. 그런데 1이라는 수에 아무런 의미를 부여하지 않고 넘어가기에는 너무 아쉽잖아요? 그래서 다음과 같은 생각을 해 보는 겁니다.

집합 B를 B={x: x는 [0, 1)의 upper bound}로 정의하고, B에 들어 있는 원소들을 생각해 봅시다. 2도 B에 들어있고, 1.1도 있고, 1.01도 있고, 1.00000001도 있고…. 1도 있습니다. 우리는 B의 최솟값이 1임을 알고 있습니다. (1보다 작은 수는 B에 들어갈 수 없는데 1이 B에 있으므로) 1은 [0, 1)의 최댓값은 아니지만, “upper bound 중에서 제일 작은 애”는 된다는 거죠. 그래서 우리의 관심사는 어떤 bounded above인 집합 S의 upper bound들의 집합의 최솟값으로 옮겨갑니다.

ordered field F의 bounded above subset S에 대하여 α∈F가 다음 조건을 만족할 때 α는 S의 least upper bound=supremum(최소상계=상한)이라고 하고, α=supS로 씁니다.

1) α는 S의 upper bound.

2) γ∈F에 대하여 γ<α이면 γ는 S의 upper bound가 아니다.

(즉, α는 S의 upper bound 중 최솟값)

부등호 방향을 반대로 하여 S의 greatest lower bound=infimum(최대하계=하한)을 정의하고, infS로 씁니다.

2. 완비성공리(Completeness axiom)

2.1. 완비성공리

공집합이 아닌 bounded above subset S의 supremum은 항상 존재할까요? 다시 말해, B={x: x는 S의 upper bound}로 정의된 집합 B는 최솟값을 가질까요? 이 질문에 ‘Yes’라고 답할 수 있게 하는 ordered field F가 우리의 주된 관심사입니다.

다음 두 성질을 만족하는 ordered field F는 least-upper-bound property 또는 completeness axiom을 만족한다고 합니다.

1) Nonempty bounded above subset S of F는 supremum을 가진다.

2) Nonempty bounded below subset S of F는 infimum을 가진다.

그런데 사실 1)과 2)는 동치입니다.

증명)

1)⇒2)만 보이면 역은 마찬가지 방법으로 보일 수 있다. 1)을 가정하고, nonempty bounded below subset S와 S의 lower bound들의 집합 T를 생각하자. S의 아무 원소를 가져오면 그 원소는 T의 upper bound이고, S가 bounded below이므로 T는 공집합이 아니다. 따라서 T는 nonempty bounded above이며, 가정에 의해 T는 supremum α∈F를 가진다. 우리의 주장은 α가 S의 infimum이라는 것이다. 먼저 임의의 x∈S에 대해 x는 T의 upper bound이므로 α의 정의에 의해 α≤x이다. 따라서 α는 S의 lower bound. 한편 γ∈F가 S의 lower bound라고 하면 T의 정의에 의해 γ∈T이고, α=supT이므로 γ≤α. 따라서 α=infS이므로 2)가 성립한다.

2.1. Complete ordered field의 존재성과 유일성

모든 ordered field가 completeness axiom을 만족하는 것은 아닙니다. 대표적으로 유리수체 Q는 completeness axiom을 만족하지 않습니다. 예를 들어 {x∈Q: x>0, x²<2}는 nonempty bounded above subset of Q이지만 Q 안에서 supremum을 가지지 않습니다.

그럼 실제로 complete ordered field가 존재하는지가 이제 우리의 관심사인데, 그 답은 Yes입니다.

Theorem: Complete ordered field R이 존재하고, R을 실수체(real field)라고 부른다.

여기서 증명을 하지는 않고, 증명의 방법만 소개하고자 합니다. 수학에서 어떤 것의 존재성을 보일 때는 다른 정리의 도움을 받거나, 아니면 실제로 그 대상을 구성(construct)해야 합니다.

우리가 수 체계를 배웠던 과정을 생각해보면, 자연수에서 정수, 유리수까지는 나름 자연스러운 확장이었고, 실수에서 복소수도 자연스러운 확장인데 – 유리수와 실수 사이에 어떤 gap이 있었습니다. 적어도 저한테는 그랬습니다. 제곱해서 2가 되는 유리수가 없다는 것으로 유리수체가 어떤 의미로 ‘불완전함’을 설명하곤 하지만, 이는 유리수체에서 실수체로의 확장이라기보다는 유리수체에서 field of algebraic number(algebraic number, 대수적 수: 유리계수 다항식의 근)로의 확장에 가깝습니다. 이제서야 우리는 실수가 어떻게 만들어졌는지 알았습니다. 유리수체 Q의 빈틈을 채워 넣어서 completeness axiom을 만족하도록 실수체 R을 직접 ‘구성’한 것입니다. 그래서 실수체가 complete인 것은 증명의 대상이 아닌데, 왜냐하면 그것을 만족하도록 실수체를 만들었기 때문입니다.

유리수체로부터 실수체를 구성하여 정의하는(실수의 구성적 정의) 방법에는 대표적으로 두 가지가 있습니다. 첫 번째 방법은 칸토어의 방법입니다. 수열 중에 Cauchy 수열이라는 것들이 있습니다. (대충 말해서 어떤 항 이후부터는 변하는 폭을 충분히 줄일 수 있다.. 이런 개념입니다. 수렴하는 수열과 밀접한 관련이 있는데, 실제로 수렴하는 수열은 Cauchy 수열이고 complete metric space에서는 Cauchy 수열은 그 집합 안에서 수렴합니다.) 이제 유리수체 안의 Cauchy 수열 중 충분히 가까워지는 애들을 하나로 묶어서 보면(equivalence class) 실수가 만들어집니다.

두 번째 방법은 데데킨트의 방법입니다. Dedekind’s cut이라고 불리는데, 유리수 집합을 양쪽으로 잘라서 두 조각을 만드는데 (가위로 수직선을 자르듯이). 왼쪽 조각에 최댓값이 없도록 자릅니다. 예를 들어서 0보다 작은 유리수의 집합과 0 이상의 유리수의 집합으로요. 이 경우에는 오른쪽 집합에 최솟값이 있습니다. 그런데 오른쪽 집합에 최솟값이 없는 경우가 있습니다. {x∈Q: x≤0 or x²<2}와 {x∈Q: x>0 and x²≥2}로 자르면 오른쪽 집합은 유리수 안에서 최솟값이 없습니다! 이런 경우를 무리수로 생각해서 유리수체의 빈틈을 채워넣으면 실수체를 만들 수 있습니다.

여기서 드는 한 가지 의문은, 두 가지 방법으로 만든 실수체가 동일한가 하는 것입니다. 좀 더 일반적으로, complete ordered field는 유일한가라는 질문을 던질 수 있습니다(수학자들은 존재성과 유일성에 집착합니다). 그리고 그 답은 Yes입니다(증명 생략).

(수학에서 두 대상이 동일하다는 것은, 원소들의 이름만 바꿔서 같게 만들 수 있다는 것입니다. 원소들의 이름은 중요하지 않습니다. 어떤 대상 X와 Y 사이의 일대일대응(bijection) f가 대수적 구조를 보존해줄 때 f를 isomorphism이라고 하고 X와 Y는 unique up to isomorphism이라고 합니다.)

Theorem: The complete ordered field is unique up to isomorphism. i.e., complete ordered field F₁과 F₂가 있을 때, 다음을 만족시키는 bijection f:F₁→F₂가 존재:

1) x<y이면 f(x)<f(y)

2) f(x+y)=f(x)+f(y), f(xy)=f(x)f(y)

3. 마무리

나름 쉽게 쓴다고 썼는데 어땠는지 모르겠습니다. 해석개론 맨 앞에 나오는 내용이고 여기서 많은 학생들이 1차 벽을 느끼곤 합니다. 그래도 제 생각에 엄청 재밌는 내용이어서 많은 분들이 한번 읽어보셨으면 하는 마음에 글을 쓰게 되었습니다.

그리고 속편의 존재성은 보장되지 않습니다…

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46 원태인 [1103713]

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연치생 아이유 · 1074075 · 21/12/21 17:15 · MS 2021

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편지들 · 1039158 · 21/12/21 17:15 · MS 2021 (수정됨)

교수님 진도가 너무 빠릅니다

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순천향대학교 · 978887 · 21/12/21 17:16 · MS 2020

strict total order가 아닌 strict partial order의 예시 하나만 들어주실 수 임ㅅ나요••

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46 원태인 · 1103713 · 21/12/21 17:19 · MS 2021

{0, 1}의 부분집합들의 집합에 A>B를 B is strictly contained in A로 정의하면, strictly partial order는 되지만 {0}과 {1} 같은걸 생각해봤을때 total은 아닙니다.

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순천향대학교 · 978887 · 21/12/21 17:23 · MS 2020

아 >를 숫자와 숫자 사이가 아닌 집합들 사이의 관계로도 그렇게 정의할 수도 있나요? 원래 정의가 뭔지 잘 모르겠는디••

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46 원태인 · 1103713 · 21/12/21 17:26 · MS 2021

실수 사이의 순서의 개념을 확장한 것입니다. 여기서 >는 실수 사이의 대소관계가 아니라 그냥 순서를 나타내는 기호가 돼요. > 말고 다른 아무 기호를 써도 상관없어요.

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순천향대학교 · 978887 · 21/12/21 17:27 · MS 2020

이게 글 내용에서 넘어간 그 relation의 내용인가요 ㅋㅋㅋ

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46 원태인 · 1103713 · 21/12/21 17:31 · MS 2021

음 그럴수도 있겠네요. 호기심이 있으시면 이걸 읽어보시면 될듯

https://en.wikipedia.org/wiki/Binary_relation?wprov=sfla1
https://en.wikipedia.org/wiki/Partially_ordered_set?wprov=sfla1

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순천향대학교 · 978887 · 21/12/21 17:19 · MS 2020

그리고 completeness를 갖춘 set을 직관적으로 "빽빽하다" 정도로 이해해도 괜찮을까요

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46 원태인 · 1103713 · 21/12/21 17:20 · MS 2021

네 정확합니다. '빈틈이 없는' 거죠

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순천향대학교 · 978887 · 21/12/21 17:20 · MS 2020

ㅋㅋㅋ대충 글 전체 내용이 느낌상으로는 오는데 막상 설명하려고 하면 못하겠음 ,, 대단하시네여

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46 원태인 · 1103713 · 21/12/21 17:56 · MS 2021

아 혹시나 해서 추가합니다.
수학에서 '조밀하다' (dense)라는 용어도 따로 있어서요, 빽빽하다는게 완전 정확한지는 모르겠네요. 아무튼 느낌만 가져가시면 됩니다

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순천향대학교 · 978887 · 21/12/21 18:38 · MS 2020

ㅋㅋㅋㅋ그. 유리수보다 무리수가 dense한걸 일대일대응이 안된다는걸로 보인 글을 본 거 같기도 하고. 친절한 설명 감사해여

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오은영 박사 · 1074585 · 21/12/21 17:30 · MS 2021

관리자에 의해 삭제된 댓글입니다.

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[파급수학] 포부 · 957718 · 21/12/21 17:32 · MS 2020

데데킨트 절단

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[파급수학] 포부 · 957718 · 21/12/21 17:53 · MS 2020

반년만에 보닉가 새롭다••• 복습해야즤

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Evolved Slave II · 872525 · 21/12/21 17:42 · MS 2019

오 머리 식힐 때 한 번 읽어볼게요!

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라그랑지안 · 812222 · 21/12/21 23:06 · MS 2018

체와 벡터공간, 집합은 어떻게 다른가요? 우선 전 다음과 같이 이해했습니다.
1. 체와 벡터공간은 집합이다.
2. 체의 원소를 이용해 튜플을 만들고, 튜플 몇 개를 모아 집합을 구성했을 때 이 집합이 특정 성질을 만족하면 벡터공간이다.
체, 가군, 벡터 공간, 집합 등등 대수학 개념을 정리해주시는 칼럼이 있으면 좋을거 같아요

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46 원태인 · 1103713 · 21/12/22 00:03 · MS 2021

체와 벡터공간, 집합은 어떻게 다른가요? 우선 전 다음과 같이 이해했습니다.
1. 체와 벡터공간은 집합이다.
=> 집합론의 관점에서, 우리가 생각하는 (거의) 모든 것은 집합입니다! 자연수 하나하나도 집합으로 정의하거든요. 당연히 체와 벡터공간도 집합입니다.
2. 체의 원소를 이용해 튜플을 만들고, 튜플 몇 개를 모아 집합을 구성했을 때 이 집합이 특정 성질을 만족하면 벡터공간이다.
벡터공간의 정의는 사진으로 첨부했습니다. F의 n-length tuple들의 집합(n < ∞)에 자연스러운 연산 구조(덧셈, 상수배)를 주면 v.s.가 되고, 이를 F^n이라고 하겠습니다.
모든 vector space V의 원소의 ‘생김새’가 F의 튜플이어야 하는 것은 아닙니다. 원소의 이름은 붙이기 나름이지요. 중요한 것은 isomorphism(구조를 보존해주는 일대일대응)으로 같게 만들 수 있겠느냐 하는 것인데, dimension theorem에 의해 V의 차원이 n < ∞이면 F^n과 동일시할 수 있습니다.
그런데 finite dimensional v.s.만 있는 것이 아니라, 차원이 무한인 v.s.도 있습니다. 이런 애들은 n-length F tuple의 집합과 동일시할 수 없겠죠.
체, 가군, 벡터 공간, 집합 등등 대수학 개념을 정리해주시는 칼럼이 있으면 좋을거 같아요
=> 대수를 좀더 공부한 후에 써보도록 하겠습니다..!

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라그랑지안 · 812222 · 21/12/22 00:05 · MS 2018

우오아ㅏㅅ 감사합니다 천천히 이해해볼게여

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라그랑지안 · 812222 · 21/12/22 00:07 · MS 2018

오 이해된 것 같아요 감사합니다 ^^

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