야밤에 노잼사실
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K가 vertex set이 [n] 인 simplicial complex이고 M_K가 K의 missing face들로 된 hypergraph라고 했을때,
가 성립. 여기서 K^{*^2}_{delta} 는 deleted join 을 나타내는 것이고 KG는 Kneser graph, X 는 chromatic number를 나타낸 것.
이로부터 만약에
라면 임의의 연속함수 f: ||K|| -> lR^d 에 대해서 두 disjoint한 face들의 이미지들이 교차를 한다는 것 (nonembeddable).
Z_2-index 이론의 주요 결과물중 하나로 꽤 많은 정리들이 저 정리로부터 증명이 될 수 있음. 예를들어
- Van Kampen-Flores 정리
- K_{3,3}이 planar graph가 아니라는 것 (이거 그전에 네이버에서 나온 문제라고 소개했던 것)
- lRP^2가 lR^3에 embedding이 안된다는 것
- Kneser conjecture에 대한 증명
같은 비자명한 정리들을 전부 위에 정리 하나의 따름정리들로 볼 수 있음.
생각해보니 20년에는 노잼사실 하면서 무언가를 꽤 올렸던거 같은데 21년에는 안올렸던듯.
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