181121 (가) 매개변수로 표현한 함수의 미분법
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1. 직선과 x>=e에서 f의 접점 k는 t에 대한 함수임을 알아야 한다.
2. 하지만 방정식 t=lnk-1+1/k의 형태를 보고 식을 정리하여 함수 k=k(t)꼴의 구체적인 식을 구할 수 없음을 눈치채야 한다.
3. 결국 구하는 것은 h’(t)인데, h와 t 모두 매개변수 k에 대한 초등함수의 식으로 나타낼 수 있음을 캐치하고 매개변수 미분을 떠올려야한다.
4. 2에서 보는 바, t=t(k)는 잘 정의됨을 알 수 있다. 사실 로그함수는 위로볼록하기 때문에 t가 변하면 항상 (1,0)을 지나는 직선과 접점의 x좌표가 증가하므로 t와 k는 일대일대응이다. 즉, t와 k 간에 함수와 역함수는 잘 정의된다. 따라서, k는 t의 함수임을 직관적으로 알겠는데, t도 k의 함수인가에 대한 의문으로 머리를 싸맬 필요는 없다. (일차적으로는 방정식이 그렇다고 말해주고 있고, 이차적으로는 위와 같은 사고를 통해 확인할 수 있다.)
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난가
형님 문과 아니십니까... ㄷㄷ 존경합니당
이런댓글 말고 학습적인 토론을...
참고로 h(t)=f'(k(t))를 그냥 t에 대하여 미분하면 음함수 미분을 사용하여 f''(k(t))*k'(t)가 되어서 dk/dt를 알아야 함.
이는 t=lnk-1+1/k의 양변을 t에 대하여 미분하면
1=(1/k-1/k^2)*dk/dt가 되어 위에서 매개변수로 정의된 함수의 미분법을 사용한 결과와 동일하게 나옴을 알 수 있음.
그렇다면 여기서 또 역함수 미분과 연결을 지을 수 있음. 일단 t와 k는 일대일대응이므로 어떤 방향이든 함수가 잘 정의됨. (역함수 존재)
그래서 dk/dt = 1/(dt/dk)로 구하여도 무방하고, 이런 이유로 본문과 이 댓글이 동일한 결과를 이끌어 냄.
그렇다면, dt/dk=0. 즉 k를 독립변수로 갖는 함수 t(k)의 미분계수가 0이 되는 k값이 존재한다면, 해당 t에서 함수 k(t)의 미분계수가 정의되지 않을 것이고 미분 가능하지 않다는 뜻. 사실 문제에서 주어진 특정 점에서만 미분계수가 존재하면 답을 구하는 데에는 아무런 문제가 없음.
다만, 애초에 k(t)가 양수 전체의 집합에서 미분가능하지 않을 수 있는데 dk/dt 혹은 k'(t)를 논하는 것이 찝찝한 사람이 있지 않겠냐 이말임.
놀랍게도 dt/dk=0일 수는 없음. 왜냐면 일단 dt/dk=1/k-1/k^2=(k-1)/k^2임. 따라서 k=1이면 dt/dk=0이 되는 골때리는 상황이 발생하는데, 이때 k>=e이므로 이 값이 0이 될 수는 없음.
정리하면 t(k)는 초등함수이로 정의역 전체에서 미분가능한데, 미분계수가 0인 지점이 존재하지 않음. 따라서 k(t)는 양수 전체의 집합에서 미분 가능함. 그렇기 때문에 우리는 매개변수 미분이 아닌 음함수 미분을 사용하여 dk/dt를 논할 때 찝찝한 감정을 느끼지 않아도 됨.
정보추소신발언) 읽기가 너무 힘들어요
흠 모바일에서는 줌땡겨서 보면 잘 보이는데
컴에선 축소하면 오히려 더 안보이더라고요
방법을 찾아서 재업하든 해보겠습니다
사실 위에 제가 쓴 댓글만 읽어도 충분한
소신발언2) 글은 진짜 잘 읽었습니다. 근데 옛날에 쓰신 칼럼에서도 느꼈던 문제인데 초등함수나 이런 대학수학에서 쓰일 것 같은 용어들을 설명해주셨으면..
진짜 읽고 싶은 애들은 찾아서 읽겠지만 그냥 거기서 포기해보리고 앙 난 몰라하고 넘어갈 수도 있는거라..
별개로 저렇게 관계자체에 대한 확인을 통해 의문을 삭제해버리는건 너무 멋있네요
그건 생각도 못했네요추후에 업데이트하면서 순화하든지 설명을 붙이든지 하도록 하겠습니다
글씨진짜예쁜,,,