항등식, 한 정점을 지나는 직선에서 변수, 상수 개념이 헛갈립니다.

Question

혼자서 궁리해봐도 해결을 못해서요.. 글이 좀 길긴한데 좀 도와주셨으면 좋겠습니다.
질문이 좀 많은데, 이중에 하나만 이라도 답변해주셨으면 좋겠습니다.
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고등학교 (하)과정에서 직선의 방정식을 보면 '한 정점을 지나는 직선'이 나옵니다. 여기서 항등식의 정의를 이용해서 해결하는 부분이 나오는데 변수와 상수의 개념 때문에 아주 헛갈립니다.

뭔가 심각한 오개념이 잡혔거나, 변수와 상수의 개념을 잘 이해를 못하고 있는 것 같습니다. 생각이 잘 정리가 안되어서 글이 좀 난잡한데 참고 읽어주시고 개념 좀 바로잡아주셨으면 좋겠습니다. 아래부터는 편의상 단정적인 투로 글을 적겠습니다.(절대 제가 맞다고 생각하는 게 아닌 점 알아주셨으면 좋겠습니다. 편의상 단정적인 어투로 쓴겁니다.)

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- 유제 21-11번을 보면

직선 ax-2y+4-3a에 대하여 다음에 답하여라.

1) 이직선은 실수 a의 값에 관계없이 항상 일정한 점을 지난다. 이 점의 좌표를 구하여라.

여기서 질문: 준식의 a는 변수인가요 상수인가요?

나름대로 정리:

일단 준식은 정점을 지나는 방정식이므로 (x-3)a-2y+4=0와 같이 정리할 수 있습니다.

여기서 제가 배우기로 이 식을 항등식으로 생각하고 풀 수도 있다고 했습니다.

바로 다음 정리를 이용해서 말이죠.

ax+b=0이 항등식 <==> a=0, b=0

따라서 x-3=0, -2y+4=0에서 준 식은 점(3,2)를 지나는 직선의 방정식입니다.

그럼 항등식으로 보고 푼 것이니까 (x-3)a-2y+4=0에서 a는 다음의 항등식의 정의

에서 항등식의 정의

(i) ax+b=0 에서 a=b=0이면 (i)은 x에 관한 항등식(곧 a,b는 상수 x는 변수)

에 의하여 변수입니다. 그럼 x,y는 상수로 본 것이겠죠.

변형하기 전의 원래 식 ax-2y+4-3a에서 x,y는 변수고 a는 상수죠. 그래야 직선의 방정식이 되니까. 근데 변형한 식 (x-3)a-2y+4=0 에서는 이게 뒤바뀌어서 x,y는 상수로 보고 a는 변수로 본다는 말인건가요? 이렇게 식을 어떻게 바라보느냐에 따라서 변수와 상수의 개념을 바꿔보면 되는건가요?

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질문 1) 이렇게 식을 어떻게 바라보느냐에 따라서 변수와 상수의 개념을 바꿔보면 되는건가요?

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위에서 제가 잘못생각한거고, 변형한 식 (x-3)a-2y+4=0 에서도 여전히 x,y는 변수고 a는 상수인건가요?

필수예제 21-8을 보면

"x,y에 관한 다음 연립방정식이 x>0, y>0인 해를 가질 때, 상수 m의 값의 범위를 구하여라.

x+y=2=0, mx-y+m+1=0"

라고 문제가 주어져 있습니다. x,y는 변수고 m은 상수라고 문제에서 주어줬습니다.

풀이를 보면 결국 m의 범위를 잡기위해 문제에서 주어진 식 mx-y+m+1=0를 m에 관하여 정리하여 (x+1)m+(1-y)=0 와 같이 변형시키고 'm의 값에 관계없이 관계없이 항상 두 직선 x+1=0, 1-y=0의 교점을 지난다'라고 하면서 항등식처럼 풉니다.

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여기서 mx-y+m+1=0를 m에 관하여 정리하여 (x+1)m+(1-y)=0가 나온 것이니까 mx-y+m+1=0 에서는 x,y가 변수고 m이 상수였던걸 (x+1)m+(1-y)=0에서는 m을 변수로 보고 x,y를 상수로 보겠다는 건가요? 그럼 애초에 질문에서 m은 상수라고 조건을 걸었는데 m을 상수로 봤다가 변수로 봤다가 해도 되는건가요?

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질문 2) 그럼 애초에 질문에서 m은 상수라고 조건을 걸었는데 m을 상수로 봤다가 변수로 봤다가 해도 되는건가요?

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그리고 만약에 m을 상수로 봤다가 변수로 봤다가 하는 게 아니라 문제에서 주어진대로 처음부터 끝까지, 식을 변형하든 안하든 상수로 보는거면, (x+1)m+(1-y)=0 에서 m이 상수라는 말인데, 그럼 결국 항등식의 정의는 이용하지 못하는 게 아닌가요? 항등식으로 해결하려면 항등식의 정의

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에서 항등식의 정의

(i) ax+b=0 에서 a=b=0이면 (i)은 x에 관한 항등식(곧 a,b는 상수 x는 변수)

성질: ax+b=0이 항등식 <==> a=0, b=0

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에 따라 m을 변수로 봐야하니까요. 근데 항등식의 정의를 이용하지 못한다면 항등식적인 풀이로는 식 (x+1)m+(1-y)=0 이 x+1=0, 1-y=0의 교점을 지나는 방정식이라고 할 방법이 없어지는 것 아닌가요?

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질문 3) 한 정점을 지나는 직선의 방정식을 항등식을 이용해서 풀려면 변수와 상수의 관계를 대체 어떻게 봐야하는건가요?

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또 다른 부분

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(x+1)m+(1-y)=0

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에서 m는 상수일 수 밖에 없는 이유가 나름대로 생각해보니까 다음과 같은 것 같은데 맞는건가요?
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1) 일단 m이 변수이면 직선 (x+1)m+(1-y)=0은 정점(-1, 1)을 지나는 모든 직선(단, 직선 x=3만 제외)을 나타내게 된다. 곧, (-1,1)을 지나는 특정한 직선 하나를 나타내는 게 아니라 모든 직선을 나타내게된다. 따라서 f(x,y)m+g(x,y)=0꼴이 아니라 좀 더 일반적인 식인

　
　
　

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f(x,y)h+g(x,y)=0 (단, h, k는 동시에 0이 아님)

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으로 나타내고 h/g 또는 g/h를 변수로 보면 결국에 이 식은 한 정점을 지나는 무수히 많은 직선을 전부 모아둔 것이 되고, 자취를 모아보면 결국 R^2(좌표평면)이 되어버린다.

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2) 또한 a가 변수이면

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식 (x-3)a-2y+4=0

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은 x,y,a에 관한 식이 되어서 평면(2차원)에서의 직선을 나타내는 게 아니게 된다. 변수가 3개인걸 봐서는--아직 안배워서 모르겠지만-- 좌표축이 3개인 공간좌표에서 직선을 나타내는 방정식이 되어버리는 게 아닌가 싶다.

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제가 써놓고고 뭔가 복잡하네요. 정말 뭔가 오개념이 심각하게 잡혔거나 변수와 상수의 개념을 이해를 못하고 있는 것 같습니다.

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변수, 상수 개념이 너무 헛갈리네요. 고등수학 들어와서 느끼고 있는데 변수와 상수의 개념을 바로 하는 게 정말 중요한 것 같네요. 근데 이걸 확실히 해보려고 이 책 저 책을 떠들어봐도 이런 부분을 따로 설명해주는 책이 없네요. 수학선생님이 근처에 있으면 붙잡고 물어보면 금방 바로잡을 수 있는 부분인 것 같은데, 수학을 독학하고 근처에 학원도 없다보니 물어볼 곳이 없어서 이리 저리 고민하다가 결국에는 여기에 질문하게 됐네요.

결국 물어보고자 하는 것을 요약하자면,

"항등식의 정의를 써서 실수 a의 값에 항상 일정한 점을 지나는 직선 ax-2y+4-3a=0 을 풀 때 a를 변수로 봐야하는지 상수로 봐야하는지 아니면 필요에 따라 변수로 봤다 상수로 봤다 해야하는지" 입니다.

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부가질문)

근데 에서 항등식의 정의는

문자를 포함한 등식에서 식 중의 문자가 어떤 값을 가지더라도 항상 성립하는 등식을 그 문자에 관한 항등식이라고 한다.

라고 되어 있네요. 여기서 '문자'는 '변수'를 지칭하는 게 맞나요?

우와와아아 · Accepted Answer

좌표평면 상의 직선의 방정식은 암묵적으로 x를 독립변수 y를 종속변수라고 약속을 하고 보기때문에 x나 y가 왜 변수일까 라고 보실 필요 없습니다. 다만 a는 조건이 부여되면 고정되어 버리기 때문에 상수라고 합니다. 값을 모를때는 미지수라고 하겠죠. 그런데 조건에 따라 a가 여러개 나오는 경우라면 a를 여러 상수를 대표하는 값이라고 칭해주어야 겠죠. 아무런 조건도 없으면 a도 (보통실수) 어떤 수의 집단을 대표하는 문자가 되기 때문에 변수가 되죠.

라마누잔 · Answer

준식을 뭐라고하죠? 직선의 방정식이라고 하죠? 직선의 항등식이라는 말은 들어본적이 없을것입니다. 직선의 방정식이란 변수 (x,y)에 관한 일차식으로 이루어진 방정식을 말하죠. 그런데 문제에서 우리는 a의 값을 구하고자 합니다. 그렇기에 a에 관한 식으로 정리했습니다. 이제는 식이 뭐가되었죠? 더이상 (x,y)에관한 방정식이 아니라 a에 관한 항등식이 되었죠. 여기서 문장을 보시면 ~에 관한 이라는 단어가 보이실텐데 그 말은 (변수) ~에 관한 이라는 말과 같습니다. 변수라는 말을 생략한거죠. 이제그러므로 이제 a는 변수가 되고 x와 y는 상수가 된겁니다.

라마누잔 · Answer

준식과 a에 관해 정리한 식은 사실은 서로 다른 식이라는 겁니다.

우와와아아 · Answer

덧을 드리면 조건을 다르게 말하면 a도 실수집합을 대표하는 변수일 때 x,y R^2 평면에서의 직선을 그린다고 보고. 그 직선들의 (x,y)순서쌍의 교집합을 구하라는 얘기인데, (x,y,a)는 R^2에서 한 점으로 나타나기 때문에 (a,x,y)중 x,y가 같은 순서쌍을 고르는거죠. 따라 a가 임의의 실수 일 때 라는 조건은 상수로 보려던 a를 변수로 보게 만들었다고 보면 될 것 같습니다. 따라서 a,x,y가 모두 변수가 되었고 그것을 R^2에 표현 했을 때 (합집합은 R^2이 되지만) 교집합은 어떤 점 즉 (x,y) 이므로  그 점을 구해봐라 라는거죠. 보통 대수적으로 풀지만 좌표평면에서 대수와 기하를 연결시켜서 보자면 그렇다는 겁니다.  그러니 결국 결론은 변수는 a,x,y가 되고 그것을 R^2에 표현했을 때 항상 지나는 점이 생기는데 그걸 구해라 입니다. 변수a가 표현 되는 방법은 기울기와 절편등이 되겠죠.

바라봄 · Answer

그럼 결국 x,y를 변수 m을 상수로 봐서 직선의 방정식이던 f(x,y)m+g(x,y)=0 을 m에 관한 항등식으로 보고 m을 변수, x,y를 상수로 바라본다는 말이군요. 여기서 식은 더 이상 직선의 방정식이 아니라, m에 관한 항등식이구요.

근데 여기서 궁금한 게, 준식을 항등식으로 보고 얻은 x, y의 특정한 값이, 준식을 다시 x, y는 변수, m은 상수인 직선의 방정식으로 바라볼 때 f(x,y)m+g(x,y)=0 에 대입하면 성립하니까 '상수 m'에 관계 없이 한 정점을 지나는 방정식이라고 하는건가요?

그리고 여기서 m에 따라서 직선의 기울기나 절편이 바뀌어서 무수히 많은 직선이 될 가능성이 있지만 m은 상수이니까 결국에는 특정한 직선 하나만 나타낸다고 해석하면 되는건가요?

항등식, 한 정점을 지나는 직선에서 변수, 상수 개념이 헛갈립니다.

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