[논술] 속삭이는 회랑 성질
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원래는 입시에 무관하다고 생각했지만, 한양대의 최근 문제가 흥미로워 다시 올립니다. 사실, 이러한 내용을 모르더라도 문제를 푸는 데에 전혀 지장이 없을 것입니다.
속삭이는 회랑(whispering gallery)
[미국 의회의사당의 National Statuary Hall은 속삭이는 회랑의 대표적인 예이다]
타원의 한 초점에서 사람이 작은 소리로 속삭이더라도, 다른 초점에서 소리가 아주 잘 들린다. 이러한 성질을 지니도록 타원기둥 혹은 타원면으로 설계한 곳을 속삭이는 회랑이라 한다.
왜 소리가 잘 들릴까? 그 이유는 다음과 같다:
초점에서, 타원에 반사되어, 다른 초점으로 간 광선이 진행한 거리는 같다 [1]
초점에서 진행한 광선은 다른 초점에서 만난다 [2]
여기서, 우리는 [1]을 타원의 두 초점 정의라 하며, [2]을 속삭이는 회랑 성질이라 한다. 페르마의 원리에 의해 입사각과 반사각이 같으며, [2]를 수학적으로 풀이하면, 이차곡선의 한 점 P에서의 접선은 초점 F1, F2에 대해 직선 PF1, 직선 PF2의 각의 이등분선이다(포물선의 경우는 한 점이 무한원점임을 가정한다). 특히:
타원의 한 점 P에서의 법선은 초점 F1, F2에 대해 각 F1PF2의 이등분선이며,
포물선의 한 점 P에서의 접선은 초점 F과 P에서 준선에 내린 수선의 발 H에 대해 각 FPH의 이등분선이며,
쌍곡선의 한 점 P에서의 접선은 초점 F1, F2에 대해 각 F1PF2의 이등분선이다. 이제, 이를 타원에 대해 다음과 같이 귀류법으로 증명하는 것이 잘 알려져 있다.
귀류법을 쓰지 않고 증명해보자. 두 점 P, Q를 지나는 직선 w에 대하여, w는 각 F1PF2의 외각의 이등분선이 아님을 쉽게 보일 수 있다. 따라서, P에서의 접선은 F1PF2의 외각의 이등분선이다.
위 밑줄친 진술이 옳은 타당한 이유를 밝혀라 ... 연습문제 1
(랩탑이 없어 태블릿으로 작성하는 점 양해 바랍니다)
한양대 2022 모의논술의 문제 2-1를 풀어라... 연습문제 2
위 그림에서 속삭이는 회랑 성질을 증명하여라 ... 연습문제 3
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