기출 변형 해설
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'0이 아니다' 조건만 '(x-y)(y-z)(z-x)>0'으로 바꾸기
(x-y)(y-z)(z-x)>0이므로 세 항 모두 양수이거나 세 항 중 두 개는 음수는, 한 개가 양수일 때 성립한다. 이 때, 모두 양수이면
(x-y)+(y-z)=x-z>0, z>x에서 모순이다.
i) x>y
x-y>0이므로 (y-z)(z-x)=-(z-y)(z-x)>0에서, y<z<x
ii) y>z
i)와 같은 이유로 (x-y)(x-z)<0에서 z<x<y
iii) z>x
i)와 같은 이유로 (y-x)(y-z)<0에서 x<y<z
즉, x+y+z=10을 만족하는 음이 아닌 서로 다른 정수 x,y,z에서 분모는 3H10=66, 분자는 x<y<z라 하고 이를 3배를 한 수임을 알 수 있다. 가능한 순서쌍으로 (0,1,9), (0,2,8), (0,3,7), (0,4,6), (1,2,7), (1,3,6), (1,4,5), (2,3,5)가 있으므로 8×3=24
따라서 q/p=24/66=4/11에서, p+q=15이다.
사실 대칭성을 쓰면 더 간단하게도 풀립니다!
(x-y)(y-z)(z-x)에서, 해당 항의 곱이 양수와 음수일 때 경우의 수가 동일하므로 (x-y)(y-z)(z-x)=0인 경우의 수를 빼고 2로 나누어 구할 수 있음을 알 수 있다. x+y+z=10에서, 10은 3의 배수가 아니므로 x=y=z인 정수 순서쌍이 존재하지 않는다. 즉, x=y=/=z일 때 경우의 수를 3배하면 됨이 명확하다.
x=y=0, x=y=1, x=y=2, x=y=3, x=y=4, x=y=5일 경우에 (x-y)(y-z)(z-x)=0이 성립하므로 총 6×3=18가지의 경우의 수를 가짐을 알 수 있다.
따라서 q/p=½×(1-18/3H10)=½×(1-18/66)=½×(1-3/11)=4/11에서, p+q=15이다.
어떤 풀이도 그냥 보고 넘어가면 안되는 사골 유형입니다.
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