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Ggy [1025438] · MS 2020 · 쪽지

2021-06-15 20:26:53
조회수 1,090

사인 극한 정리 질문입니다

게시글 주소: https://orbi.kr/00038054808

수1까지만 배운 고2입니다 

수학 레포트 작성하다가, sinx, tanx에서 x가 0에 가깝게 작으면

각각 x로 근사할 수 있다는 사실을 보고 궁금해서 네이버를 뒤적거리다가 

백과사전글을 발견했는데요.

파란 줄 치기 전, t라디안이 t 곱하기 180/파이 도 인거까지는 이해가 가는데,

저기서 갑자기 "따라서 t가 작으면 sint를 t로 근사할 수 있다"라는 결론이 나오는 이유를 모르겠네요

아무리 봐도 근거가 없는 거 같은데..ㅠㅠ

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Ggy [1025438]

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  • 피 카 츄 · 738994 · 21/06/15 20:32 · MS 2017

    직관적으로 이해하는 방법은... x=0에 근접한 국소부위에서 y=x와 y=sinx의 그래프 개형이 매우 가깝기 때문입니다.
    사인엑스의 원점에서 미분계수가 1이고 접선이 y=x임을 생각하시면 더 편할 겁니다

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  • Ggy · 1025438 · 21/06/15 20:49 · MS 2020

    그러면 혹시 근사 범위는 어떻게 되나요? sin과 tan 각각에서요 !

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  • 피 카 츄 · 738994 · 21/06/15 20:51 · MS 2017

    근사범위라는 게 무슨 말씀인가요? 극한을 취해서 0으로 갈 때에는 0 근처의 정말 작은 국소범위만 다루어서 항상 x로 보아도 괜찮습니다

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  • Ggy · 1025438 · 21/06/15 20:55 · MS 2020

    음... 제가 아직 극한같은 개념을 제대로 배운 적이 없어서
    그냥 단지 0의 가까운 값을 가지면 sin, tan를 x자체로 볼 수 있다고 이해하고 있습니다

    그런데 그래프를 그려보니 어느 지점부터는 오차가 좀 커지더라고요
    그래서 실제로 근사를 해도 되는지 아닌지를 가르는 가용범위가 있는지가 궁금했습니다

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  • 피 카 츄 · 738994 · 21/06/15 21:00 · MS 2017

    음 이게 테일러 급수에 의해서 파생된 고등학교 수능 스킬? 이런 느낌인데, 테일러 정리는 모든 초등함수는 n차다항식으로 근사할 수 있다는 이론입니다. (초등함수란, 고등학교 범위에서 다루는 다항,로다심지를 합성하여 만든 함수 정도로 이해하시면 되겠습니다.)

    이때 n이 클 수록 오차가 줄어들고요. 무한대로 키우면 급수의 형태로 나타낼 수 있고, 오차가 없게 되겠죠. 공학용계산기가 사인값, 코사인값 등등을 실제 숫자로 표현해주는 원리도 각 함수의 근사 다항식에 대입하여 보여주는 방식입니다.

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  • 피 카 츄 · 738994 · 21/06/15 21:03 · MS 2017

    f(x)= f(p) + f'(p)(x-p) + (f"(p)/2!)(x-p)^2 + (f'''(p)/3!)(x-p)^3 + ... 이런식으로 계산할 수 있고, p=0인 특수한 테일러급수를 따로 매크로린 급수이라고 부릅니다.

    sigma n= 0 to oo (f^n(p)/n!) (x-p)^n
    으로 간단히 나타낼 수 있어요. f^n: f의 n계 도함수

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  • 피 카 츄 · 738994 · 21/06/15 21:05 · MS 2017

    말씀하신 것처럼 단순히 x로 근사하는 것은 1차까지만 한 것이라서 근사의 중심인 x=0에서 멀어지면 오차가 커집니다. 다만 극한을 계산할 때는 x=0에 가까운 국소범위에 관한 논의여서 상관이 없습니다

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  • Ggy · 1025438 · 21/06/15 21:09 · MS 2020

    감사합니다

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  • 피 카 츄 · 738994 · 21/06/15 21:16 · MS 2017

    네 위에 말씀드린 식의형태를 보면 알겠지만 근사를 위해 선택한점 p에서는 함숫값과 미분계수가 원래 함수와 동일할 수밖에 없는 구조입니다. n이 무한대가 아닌 이상 p가 아니면 오차는 무조건 존재하고요

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