각 과목(미기확)마다 피지컬 기르는 법(미적분)

안녕하세요 오르비 닉 Evolved Slave II 입니다. 이번에는 6평을 앞두고 수학 피지컬 자체에 관심이 있는 분들이 6평 이후로 드러난 약점을 바탕으로 이를 강화시킬 수 있는 방법에 대해 얘기해볼까 합니다. 미적분-기하-확률과 통계 순서대로 진행할 예정이고, 하루에 시간 나는 거에 따라 1~2개 과목을 올릴 예정입니다. 공통 과목의 경우에는 반응이 좋다면 나중에 종합해서 해볼 예정입니다. 

해당 공부법이 절대적으로 최적인 공부법이 아닐 수 있으니 무조건 대입해 보지 마시고 개인의 학습 역량에 맞춰 선택적으로 하셨으면 합니다. 이 정도를 개인의 역량에 맞춰 선택하는 것 자체가 하나의 공부입니다.

(1) 미적분: 공통 과목 공부법과 가장 비슷하다고 생각할 수 있지만 결이 다르다고 느낄 만한 과목입니다. 당연합니다. 공통 과목은 '다 구할 수 있는' 다항식의 미적분에 대한 거지만, 미적분 과목은 사람 손으로는 구하기 매우 곤란한(사실 제한 시간 내 시험 특성 상 불가능에 가까운) 함수의 미적분에 관한 거니까요.

그래서 미적분 과목에서 그래프를 그리기 시작합니다. 사실, 다항함수까지는 그냥 순수 수식으로도 계산이 많아서 그렇지 다항함수의 성질을 활용하면 그림 하나도 없이 수월하게 설명이 가능합니다. 근데, 이 그래프를 그리는 과정에서 선택을 해야 하죠.

1. 진짜 이걸 무조건 그림으로만 해결해야 하는가? 직관으로 다른 풀이가 비약이 있음을 보일 수 있는가?

2. 수식으로 설명하는 게 불가능하거나 압도적으로 불리함을 알고 그리는 것인가?

1, 2번에서 명확한 답변을 못한다면, 수식으로 풀든 그래프로 풀든 편향된 방식으로 그때그때 보이는 상황에서만 임시방편으로 해결하고 있는 상태일 가능성이 높습니다. 현재 푸는 문제 난이도에 대해선 큰 문제가 없을 수 있지만, 그 이상의 난이도의 문제나 익숙하지 않은 문제에 대한 체감 난이도는 크게 뛰어 좌절할 수 있다는 거죠. 한 번 171130(가형) 문제를 통해 예시를 들어보죠.

다들 많이 아시는 '기울기 풀이'로 예시로 들어보겠습니다. 여러분이 이 풀이를 처음 현장에서 만난다고 생각해봅시다. 근데 여러분은 이전에 '운 좋게' 기울기 풀이를 체득한 상태입니다. 그럼 이 문제는 쉬운 문제가 되는 걸까요? 그냥 풀고 끝나는 건가요? 사실 현장에선 끝 맞습니다. 어떻게든 답만 맞추면 끝이니까요. 

하지만 끝이 아닌 이유는, 여러분이 '우연히' 이 풀이법을 알고 들어가는 상황이 아니어도 풀어야 하는 수험생의 입장이기 때문입니다. 아마도 매우 높은 확률로 이런 난이도의 문제는 지금 트랜드 상 출제할 일이 없다 봐도 무방하지만, 수능 난이도에 맞춰 설명이 아닌 피지컬 관련 내용이기에 풀이법을 설명해보겠습니다. 표현의 편의성을 위해 alpha=A, beta=B라 하겠습니다.

(가) 조건을 통해, a<A<B임을 알 수 있고, (나) 조건을 통해,

M(A-a)=g(A)

M(B-a)=g(B)

f(A)=f(B)=g'(A)=g'(B)=M에서,

g(x)-M(x-a)=-(x-A)²(x-B)²

((x-a)f(x))'=f(x)+(x-a)f'(x)=g'(x)

자, 여기서 보통 수식 해설이랑 제 해설이랑 갈릴 겁니다. 제 풀이가 더 깔끔하거나 완전하다는 게 아니라, 기존 풀이랑 어떤 게 다른지 혼자 시간 들여 생각해봅시다.

x>a에서 정의되므로, (x-a)f'(x)=g'(x)-f(x)으로 보자.

(가)에 의해, (x-a)f(x)=g(x)이므로 (x-a)를 곱해 모르는 함수 f(x)가 아닌 어느 정도 해석해둔 g(x)로 해석해보자.

(x-a)²f'(x)=(x-a)g'(x)-(x-a)f(x)=(x-a)g'(x)-g(x)이므로 위에서 구한 g(x)를 기반으로 f'(x)=0의 실근 값과 f(x)의 극값 개수를 구할 수 있다.

사실 이 풀이 말고 다들 쓰는 기울기 풀이 쓰면 

(g(x)/(x-a))'={g'(x)(x-a)-g(x)}/(x-a)² 한 줄이면 나오는 결론입니다. 근데 왜 굳이 이 풀이를 썼을까요?

기존 풀이는 풀이 최적화에는 적합하지만, 현장에서 적용하려 할 시 기존에 풀이를 접해본 학생을 제외하고는 극소수만 이 발상을 떠올렸을 겁니다. 근데 밑에 풀이는 x>a 조건을 통해 

(x-a)²>0을 이끌어 내 순수하게 다항식의 세계 내에서 모르는 

f(x)의 개형을 이끌어낼 수 있습니다. 사실 이론상은 밑 풀이는 나형러도 접근할 수 있는 발상입니다. 아니, 어찌 보면 나형러면 밑 풀이'만' 유도할 수도 있겠죠.

이렇게 더 적게 도구를 쓰고도 원하는 결론을 내는 게 진정한 피지컬입니다. 근데 이렇게 더 좁은 범주의 내용에서 고난도의 문제를 풀 생각을 하기까지는 더 많은 고민을 해야 하는 아이러니가 있습니다. 이를 잘 극복해내야 합니다. 그러기 위해선,

(1) 내가 이미 배운 내용 중에 새로운 생각을 도입하기 전에 이런 비슷한 생각을 쓰는 내용이 있었나?

(2) 만약 (1)과 같은 내용이 없었다면 그나마 비슷한 내용 중에 어떤 전제가 바뀌어서 새로운 발상이 정당화되는가?

이에 대해 끊임없이 의심하고 보여야 합니다. 스스로 아는 것과 모르는 것에 대해 명확히 알 수 있어야 하고 어디까지 나아갈 수 있는 발상이 있는지 혼자 시도해봐야 합니다. 이런 시도를 풀이를 통해 잘 드러내주고 푸는 사람한테 방법 중 하나를 제시해주는 게 피지컬을 키워주는 좋은 문제고 보통은 '많이 어려운 문제'로 평가받는 거죠.

본인이 아는 범주 안에서 새로운 생각을 우연찮게든 배워서든 도입할 때 기존에 있는 생각과 어떻게든 이어보려 하세요. 자연스럽게 잘 이어지면 완전히 이해한 거고 전혀 다른 세계에서 노는 느낌이 들면 이를 익숙한 세계로 끌어오려 하세요. 그 시도를 하기 위해서 머리 아픈 공부를 하는 거고 그 시행착오 자체로 피지컬이 크게 올라갑니다.

(2) 기하:

(3) 확률과 통계: