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Evolved Slave II [872525] · MS 2019 · 쪽지

2021-05-22 20:22:46
조회수 4,305

머리 식힐 사람 들어오셈 ㅋㅋ(정수론 끝판왕)

게시글 주소: https://orbi.kr/00037698414

오늘은 아마 그동안 올린 것들 중에 가장 레전드급으로 어려운 정수론 문제일 겁니다. 당시 그레고리 페렐만이 42점 만점을 맞은 1988 IMO 문제 중에 가장 악랄했던 문항으로 평가받은 6번 문제입니다. 문제는 상당히 간단합니다. 한 번 보시죠.



장난하냐고요? 제약 조건 더 없지 않냐고요? 아뇨, 저게 끝이에요 ㄹㅇ....오히려 증명문제는 조건이 적을수록 더 괴랄한...진리를 보여주는 문제죠. 뭐, 다들 푸시는 거 보면 Vieta Jumping기법이다 당시에 푼 학생 중 한 명이 현장에서 개발해 낸 상당히 기발한 방식으로 주로 푸시는데 그런 거 없이 그냥 기본대로 천천히 해보겠습니다.


풀이) a²+b²=k(ab+1)(단, k는 자연수)꼴임을 알 수 있으므로 일반성을 잃지 않는 선 안에서 a<=b라 하자. 그럼 자연수 m에 대해, ma<=b<(m+1)a인 자연수 m을 찾을 수 있으므로 

b=ma+n(n은 0<=n<a인 정수)으로 표현할 수 있다.


0<a<=b에서 a²+1<=ab+1<=b²+1이므로 m=k임을 알 수 있다.


a²+b²=a²(k²+1)+2kna+n²

k(ab+1)=(kb)a+k이므로 n²-k는 a의 배수임을 알 수 있다.


k(ab+1)=k(a(ka+n)+1)=k(ka²+an+1)에서,

a²+kna+n²-k=0이므로 (a²+n²)/(an+1)=k인 식이 성립한다.


즉, a,b에 대한 방정식 a²+b²=k(ab+1)에 대해, (n,a) 순서쌍도 성립하므로 k가 최소 2번 이상 거듭제곱꼴임을 알 수 있다.



따라서 (a²+b²)/(ab+1)은 완전제곱수이다.



와! 머리 식히기 재밌다!

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